函数 【思考练习】 1.已知，，则 . 2.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3.已知函数，在R上恒成立，则的取值范围为 . 4.已知函数在区间有两个零点，则2a+b取值范围是 . 5.已知函数，记，若在区间是增函数，则a的取值范围是 . 6.已知a+b+c=9,ab+bc+ca=24,则b的取值范围是 . 【知识梳理】 知识点一、函数的概念和性质 考点1、函数的概念 一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. 考点2：函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 考点3：函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 考点4：函数的定义域和区间 定义域的表示及区间的表示 考点5：分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【常用结论】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 知识点二、值域和最值 1.值域的定义及意义 2.最值的定义及其几何意义 定义：设函数的定义域为A， （1）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最大值，记为． （2）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最小值，记为． 几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 知识点三、函数单调性的证明及判定 4.定义法证明函数单调性的步骤： （1）取值：设，为该区间内任意的两个值，且； （2）作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形，一般化为积的形式； （3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； （4）判断：根据定义做出结论。 5.常见的函数单调性等价形式 1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 6.函数单调性的常见判定方法。 （1）定义法； （2）图像法：作出函数图像，数形结合； （3）直接法：利用已知函数的结论，比如一次函数、二次函数、反比例函数、勾函数、桥函数等的单调性； （4）抽象函数的适当变形； （5）复合函数的单调性根据“同增异减”来判断； （6）导数法（选择性必修二内容）. 知识点四. 函数单调性的性质与结论 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与 ... ...
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