2026届高三数学一轮复习素养提升解答题专项训练《三角函数、三角恒等变换、解三角形》8 易错问题（含解析）

素养提升解答题专项训练一：三角函数、三角恒等变换、解三角形 （八）易错问题 例1. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 【举一反三1】（河北省衡水市2025-2026学年高三上学期第二次调研18） 在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，求的面积. 例2. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求b； （2）若，求正整数c的值. 【举一反三2】已知的内角所对应的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 例3．设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 【举一反三3】在三角形中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)从下列中选择一个证明： ①证明：；②证明： (2)求三角形面积的最小值． 解析： 素养提升解答题专项训练一：三角函数、三角恒等变换、解三角形 （八）易错问题 例1. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 【解析】（1）在中，由及正弦定理得，而，则，又， 所以或. （2）由的周长为，，得， 在中，由余弦定理得，即， 则，当时，，于是，，此方程无解； 当时，，于是，解得或， 所以当时，无解；当时，或. 【举一反三1】（河北省衡水市2025-2026学年高三上学期第二次调研18） 在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求证：； （2）若，求的值； （3）若，求的面积. 【解析】（1）由及正弦定理得， 又，∴. ∵，∴ （2）由余弦定理知，即，∴， 代入（1）中结论得：. （3）（外接圆半径）， ∴， ∵，且，∴，∴， ①∵，则∴，同理， ∴.∴不成立； ②若，则，∴， 同理，∴. ∴不成立； ③若，则，此时， ∴，， 由正弦定理知. 例2. 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求b； （2）若，求正整数c的值. 【解析】（1）由正弦定理，得， 即，即， 又，所以. （2）因为，，， 所以，即， 由△ABC为锐角三角形可得，即， 解得，又C为正整数，所以. 【举一反三2】已知的内角所对应的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【解析】（1）由正弦定理得， 整理得，即， 由余弦定理得，又，所以. （2）由（1）知，即. 因为为锐角三角形，所以，解得. 由正弦定理，得， 则 ， 当时，，则， 又， 所以，所以， 所以，即， 所以周长的取值范围是. 例3．设的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值. 【解析】（1）由， 故， 所以，所以， 由余弦定理， 因为，所以． （2）在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或． 当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以， 由，则不符合题意，舍去， 所以，则． 且， 在中，由正弦定理，得， 解得． 又因为为的平分线，所以． 【举一反三3】在三角形中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)从下列中选择一个证明： ①证明：；②证明： (2)求三角形面积的最小值． 【解析】（1）若选择①，由条件可知，角都是锐角，过点作与垂直的单位向量，则与垂直的夹角为，则与垂直的夹角为， 因为，所以, ， , 即； 若选择②，如图，设，，， 则，两边平方后， 则，即 （2）， 因为，所以， 所以的面积的最小值为. ... ...