格致中学 二〇二五学年度第一学期10月月考 高一年级 数学试卷 (共 4 页) (测试 90 分钟内完成,总分 100 分,试后交答题卷) 一、填空题: (本题共有 10 个小题, 每小题 4 分, 满分 40 分) 1. 不等式 的解集为_____. 2. 满足条件 的集合 的个数是_____. 3. 集合 ,则 _____. 4. 其身正, 不令而行; 其身不正, 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为:“身正”是“令行”的_____条件. 5. 设全集 ,则 _____. 6. 若集合 有且仅有两个子集,则实数 的取值集合为_____. 7. 已知 ,若关于 的不等式 的解集为 ,则关于 的不等式 的解集为_____. 8. 若不等式 对于一切 恒成立 那么实数 的取值范围是_____. 9. 由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪,直至 1872 年,德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续 200 多年的数:史上的第一次大危机. 戴德金分割,是指将有理数集 划分成两个非空的子集 与 ,且满足 , 中的每一个元素都小于 中的每一个元素,则称(M, N)为戴德金分割. 试判断,对于任一戴德金分割(M, N),下列选项中可能成立的是_____. ① 没有最大元素, 有一个最小元素; ② 没有最大元素, 也没有最小元素； ③ 有一个最大元素, 有一个最小元素; ④ 有一个最大元素, 没有最小元素. 10. 不等式 有多种解法,其中之一是在同一直角坐标系中作出 的图像,然后求解,请类比求解以下问题: 设 , 若对任意 ,都有 ,则 的最小值是_____. 二、选择题:(本题共有 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分) 11. 若 为实数,则 成立的一个充要条件为 ( ) A. B. C. D. 12. 对于集合 和 ,令 ,若 , ,则 ( ) A. 整数集 B. C. D. 13. 某校要召开学生代表大会, 规定各班每 10 人推选一名代表, 当班人数除以 10 的余数大于 6 时,再增选一名代表,则各班推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 (其中 表示不大于 的最大整数,如 ) 可表示为( ) A. B. C. D. 14. 设集合 的最大元素为 ,最小元素为 ,记 的特征值为 ,若集合中只有一个元素,规定其特征值为 0 . 已知 且元素个数均不相同,若 ,则 的最大值为 ( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 三、解答题:(本题共有 5 大题,满分 44 分。解题时要有必要的解题步骤) 15. (本题共 2 小题,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,满分 8 分) 设关于 的不等式 的解集为 . 求集合 ； (2)若 ,求实数 的取值范围. 16. (本题共 2 小题, 其中第 1 小题 4 分, 第 2 小题 6 分, 满分 10 分) 已知集合 ,集合 ,且 . (1)若 ,求实数 的值； (2)若 ,求实数 的取值范围. 17. (本题共 2 小题,其中第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分,满分 12 分) 已知关于 的不等式 的解集为 . (1)若 ,求实数 的取值范围； (2)若存在实数 ,使得对一切 ,不等式 恒成立,求实数 的取值集合. 18. (本题共 3 小题,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 2 小题 5 分,满分 14 分) 已知集合 ,其中 . 定义:若对任意的 , 必有 ,则称集合 具有性质 . 由 中元素可构成两个点集 和 , ,其中 中有 个元素, 中有 个元素. (1)若集合 ,判断 是否具有性质 并写出 对应的集合 和集合 ； (2)若集合 ,求对应集合 的元素个数:一般地,若集合 具有性质 ,且有 个元素,猜测对应的集合 的元素最大个数,并说明理由; (3)若集合 具有性质 ,证明: . ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
