河北省唐山市丰润区2025-2026学年第一学期第一次月考高三数学试卷（PDF版+word版，含答案）

2025-2026学年第一学期第一次月考 高三数学答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1~4 DAAC 5~8 ACBD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ABD 10.BCD 11.ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.2＋i 13.90 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， ①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0； 当00， 所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． (2)f′(x)＝， 当a≤时，f(x)在上单调递减， 所以f(x)max＝f＝2－ae； 当0， 则S△ABC＝absinC＝×35k×40k×＝，得k＝， 因此△ABC的周长为＝. 17.解：(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD. ∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD. 又PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB， ∴PD⊥平面PAB. (2)取AD中点O， 连接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD. 又∵PO 平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PO⊥平面ABCD. ∵CO 平面ABCD，∴PO⊥CO. ∵AC＝CD，∴CO⊥AD. 以O为原点建立如图所示空间直角坐标系， 易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，－1,0)，C(2,0,0)． 则＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(2,0，－1)，＝(－2，－1,0)． 设n＝(x0，y0,1)为平面PDC的法向量， 由得 解得即n＝为平面PDC的一个法向量． 设PB与平面PCD的所成角为θ， 则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝， ∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. (3)假设存在，设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]使得＝λ， 因此点M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)． ∵BM 平面PCD，要使BM∥平面PCD， 当且仅当·n＝0， 即(－1，－λ，λ)·＝0，解得λ＝， ∴在棱PA上存在点M，使得BM∥平面PCD，此时＝. 18.解：(1)依题意 结合c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝，c＝2. 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件． 由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)． 设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支第一象限上一点． 当x0＝2时， 因为∠QFM＝2∠QMF＝90°， 所以∠QMF＝45°， 于是|MF|＝|QF|＝3， 所以t＝－1.即M(－1,0)． 当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF＝－， tan∠QMF＝kQM＝. 因为∠QFM＝2∠QMF， 所以－＝. 将y＝3x－3代入并整理得 －2x＋(4＋2t)x0－4t＝－2x－2tx0＋t2＋3， 所以 解得t＝－1.即M(－1,0)． 综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)． 19.解：(1)设Ai＝“第i天中午选择米饭套餐”(i＝1,2)，则i＝“第i天中午选择面食套餐”， 根据题意P(A1)＝，P(1)＝，P(A2|A1)＝， P(A2|1)＝， 由全概率公式，得P( ... ...