(
课件网) 1.1 空间向量及其运算 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 空间向量的坐标及运算 探究点一 空间向量的坐标运算 探究点二 空间向量模与夹角的坐标表示 探究点三 空间向量平行、垂直的坐标表示 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解空间向量坐标的定义; 2.掌握空间向量运算的坐标表示; 3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角. 知识点一 空间中向量的坐标 1.单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底,,中，,, 都是_____， 而且这三个向量_____，就称这组基底为单位正交基底. 单位向量 两两垂直 2.单位正交分解 在单位正交基底,, 下向量的分解称为向量的单位正交分解， 如果，则称有序实数组_____为向量 的坐标， 记作_____，其中,,都称为 的坐标分量. 知识点二 空间向量的坐标运算 若, ,则 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 _____ 加法 _____ 线性运算 _____ 数量积 _____ 模 ，， 向量运算 向量表示 坐标表示 夹角 续表 知识点三 空间向量的平行、垂直 设,, . 1.平行： _____, _____, ____. 当的每一个坐标分量都不为零时，有 . 2.垂直： _____. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）空间向量 是一个单位向量.( ) × [解析] ，故 不是单位向量. （2）若空间向量与 共线，则 .( ) × [解析] 当的每一个坐标分量都不为零时，若, 共线，则 . （3）设，，若，则 .( ) √ [解析] 若，则，即，解得 . 探究点一 空间向量的坐标运算 例1 已知, ,求: （1） ; 解： . （2） ; 解： . （3） ; 解： . （4） . 解： . 变式（1）已知向量，， 不 共线，若可用与表示，则 的值为____. [解析] 设，则解得 （2）已知向量，，求 ， . 解：设， . 由题可知且解得 故，，则 ， ， . ［素养小结］ 解决空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐 标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方 程组求其坐标. 探究点二 空间向量模与夹角的坐标表示 例2 已知，，且 . （1）求 ； 解：因为，所以 ， 即，解得 ， 所以 ， 所以 . （2）求与 夹角的余弦值. 解：易知，且 ， 所以, ， 即与夹角的余弦值为 . 例2 已知，，且 . 变式 已知向量，满足，， ，则 向量与向量 的夹角是___. [解析] 因为 ，所以 ，故 ， 因此,，故向量 与向量 的夹角是 . ［素养小结］ 1.求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算. 利用
，将向量的模的运算转化为向量的数量积问题. （2）坐标表示下的运算. 若
，则
，于是有
. 2.利用数量积求两向量夹角的步骤 探究点三 空间向量平行、垂直的坐标表示 例3（1）在空间中，已知， ， 若是直角三角形，则 的值为_____. 或 [解析] 由题得. 若 ，则，即，解得； 若 ，则，即，解得； 若 ，则，即 ， 整理得，无解. 综上，或 . （2）已知，，， ， . ①若，共线，求实数 的值； 解：由题得，解得 ， 又,所以，解得 ， 所以， ， 所以， . 因为，共线，所以，解得 . ②若向量与的夹角为锐角，求实数 的取值范围. 解：由①知，， ， 因为向量与 的夹角为锐角， 所以，解得 ， 又当时，，所以实数 的取值范围为 . （2）已知，，， ， . 变式（1）［2025·河北邯郸一中高二月考］已知 ， ，且 ，则( ) A.， B.， C.， D.， √ [解析] 由题得 ，， ， 存在非零实数 ，使得， 则 解得 故选B. （2）已知向量，，且，则实数 的值是( ) A. B. C.3 D. [解析] 由题得，因为 ，所以 ，解得 .故选B. √ ［素养小结］ （1）判断空间向量垂直或平行的步骤: 对于
,
,根据
的值 ... ...
