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课件网) 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.3 直线与平面的夹角 探究点一 几何法求直线与平面所成的角 探究点二 用向量法求线面角 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解斜线与平面所成的角的定义; 2.会利用空间向量求直线与平面的夹角. 知识点一 直线与平面所成的角 （1）定义：如图，如果直线是平面 的一条 斜线，为_____，是直线在平面 内的 _____，则_____就是直线与平面 所成的角. 斜足 射影 （2）范围：直线与平面 所成的角 的范围是 . 当 时， 或 ；当 时， . （3）性质：最小角定理. 如图，设是平面 的一条斜线段，为斜足， 为在平面 内的射影，而是平面 内的一条射 最小的角 线，.记，， ，则 ， ， 之间的关系是_____. 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角 中_____. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成 的角.( ) × （2）斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角.( ) √ （3）斜线与平面的夹角的范围是 .( ) × （4）若一条直线与一个平面 的夹角为 ,则这条直线在平面 内. ( ) × 知识点二 利用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，为直线的一个方向向量，为平面 的一个法向量， 为直线与平面 所成的角，则，或， ，特 别地，，，， . 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值即为所求线面 角的余弦值.( ) × （2）若直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值为负值，则 所求线面角为钝角.( ) × （3）已知向量，分别是直线的一个方向向量和平面 的一个法 向量，且，，则直线与平面 所成的角为 .( ) × 探究点一 几何法求直线与平面所成的角 例1 如图，在所有棱长都等于1的三棱柱 中，， ． （1）证明： ； 证明：连接，在中， ， ，所以 ， 在中，，，所以 ， 因为，所以 ， 又，所以 ． （2）求直线与平面 所成角的大小． 解：方法一：连接与交于点，连接 ， ． 在边长都为1的正方形中，是 的中点， 因为，所以 因为四边形的边长都为1，所以 ． 由（1）知 ，又，， 平面 ， 所以 平面 ， 例1 如图，在所有棱长都等于1的三棱柱 中，， ． 又 平面，所以 ， 又，，， 平面 ， 所以 平面 ． 因为 平面，所以 ， 又，， 平面 ， 所以 平面 ， 所以即为直线与平面 所成的角． 因为， ，所以，所以 ， 所以直线与平面所成角的大小为 ． 方法二：取的中点，连接， ． 在中，，所以 ， 在边长都为1的正方形中， ， ， 因为 ，所以为直角三角形，所以 . 在中，，所以 ， 又，， 平面 ，所以 平面 ， 所以即为直线与平面 所成的角． 因为，所以，所以 ， 所以直线与平面所成角的大小为 ． 变式 如图所示，已知 平面， ， ，，，为 的中点. （1）求证：平面 平面 ； 证明：因为 平面， ， 所以 平面 ， 又因为 平面，所以 . 因为，为的中点，所以 ， 又因为, 平面，且 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以平面 平面 . （2）求直线与平面 所成角的大小. 变式 如图所示，已知 平面， ， ，，，为 的中点. 解：取的中点，连接, ，如图所示， 因为为的中点，所以，且 ， 又，且 ， 所以，且，所以四边形 为平 行四边形，所以 ， 由（1）可知 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以 ， 所以即为直线与平面 所成的角. 因为，，所以 为等腰直 角三角形，所以 ，所以 . 在 中， , 所以 , 在中， ， 又因为，所以 ， 即直线与平面所成的角为 . ［素养小结］ 几何法求线面角的两种方法： （1）利用线面角定义， ... ...
