无锡市第六高级中学2025年10月高三教学质量调研数学试卷 答案和解析 一、单选题 1. B 2. D 3. 4. D 5. 6. C 7. 8. A 二、多选题 9. ACD 10. AC 11. 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15.【答案】解：由题意，设， 因为，所以，即，......................................2分 又因为向量的夹角为， 所以，解得， ......................................4分 将代入，解得， 所以或． ......................................6分 因为， 所以，即， 所以， ......................................8分 所以 ， ......................................10分 所以当时，有最小值． ......................................13分 16.【答案】（1）在中，由及正弦定理，得，···········2分 则，而，， 因此，解得，所以. ·········································································5分 （2）由（1）知，由，得，·································7分 ，····························11分 由正弦定理得，而， 所以. ····························15分 17.【答案】解：由于为奇函数，且定义域为， ，即，． ······························2分 当时， ， 时为奇函数． ......................................4分 ， ， 是偶函数，， ， 得到， ......................................6分 由此可得：的值为． ·································7分 ，， ·································9分 又在区间上是增函数， 当时，， ·································11分 由题意得 综上，的取值范围 ·································15分 18.【答案】解：(1) 当a＝0时，f(x)＝x3＋3x2＋1，所以f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2. ……………………… (1分) 列表如下： x (－∞，－2) －2 (－2，0) 0 (0，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 所以f(x)在x＝－2处取极大值，即x1＝－2，且f(x1)＝5. ………………………… (3分) 由f(x1)＝f(x3)＝5，所以x＋3x＋1＝5，即x＋3x－4＝0，所以(x3－1)(x3＋2)2＝0. 因为x1≠x3，所以x3＝1， …………………………(5分) 所以2x1＋x3＝－3. …………………………(6分) (2) 由f′(x)＝3x2＋6x＋a，因为x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点， 所以x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不相等的实根，且36－12a>0，即a<3， 所以 …………………………(8分) 因为f(x1)＋f(x2)＝(x＋3x＋ax1＋1)＋(x＋3x＋ax2＋1) ＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋3[(x1＋x2)2－2x1x2]＋a(x1＋x2)＋2 ＝(－2)[(－2)2－3×]＋3[(－2)2－2×]＋a×(－2)＋2＝6－2a， 又f(x1)＋f(x2)≤5，所以6－2a≤5，解得a≥. 综上，≤a<3. …………………………(12分) 19.【答案】解 （1）因为，所以，，··············2分 令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为和，单调减区间为. ·············································5分 （2）由题意知：，， 有两个不等正根， ，解得：，··········································································· ... ...
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