中小学教育资源及组卷应用平台 期中重点专题：垂径定理及其应用-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 1．如图是一段弧，和是圆弧的两条弦，的半径为2，，． (1)作出圆心O的位置；（要求：尺规作图，保留作图痕迹不写作法） (2)求的长度． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点A，B，C，现在以格点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)标出该圆弧所在圆的圆心D，则圆心D的坐标为_____； (2)若点E的坐标是，判断点E与的位置关系，并说明理由． 3．如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 4．如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱下面的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）为 (1)求桥拱所在圆的半径． (2)该地区连降暴雨，河水猛涨， 桥下水面提高了，求此时水面的宽度． 5．如图，是的直径，是上的一点． (1)尺规作图：利用图1，在上作点，使得为的中点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接、，若，，求的半径．（在图2中画出必要的草图） 6．已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 7．如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 8．如图，为的弦，为直线上两点，，求证：． 9．定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)请写出一个“经典方程”：_____； (2)求证：关于的“经典方程”必有实数根； (3)如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数． 10．如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 11．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 12．西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 13．如图，的直径与弦交于点，，． (1)求的长． (2)当时，求的长． 14．如图，一座石拱桥的形状是以点O为圆心，为半径的一段圆弧． 【实践与操作】 （1）请你确定的中点E；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） 【应用与计算】 （2）若，，求石拱桥桥拱的高度． 15．中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 16．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 17．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径． 18．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的 ... ...
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