2.4　第2课时　圆的一般方程（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第2课时　圆的一般方程 学习 目标 1. 探索并掌握圆的一般方程，能进行圆的一般方程和标准方程的互化． 2. 会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程．初步掌握点的轨迹方程的求法． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，圆心坐标为，半径为． (1) 当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，因而方程表示一个点． (2) 当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而方程不表示任何图形． (3) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心、为半径的圆． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 圆的一般方程可以化为标准方程．(　√　) (2) 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　×　) (3) 若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　√　) (4) 任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　圆的一般方程的概念 例1　判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1) 3x2＋y2＋2x＋1＝0； 【解答】 因为x2，y2的系数不相等，所以方程不表示圆． (2) x2＋y2＋xy＋1＝0； 【解答】 因为方程中含有xy项，所以该方程不表示圆． (3) x2＋y2＋x＋2y＋1＝0； 【解答】 因为D2＋E2－4F＝1＋4－4＞0，所以方程表示圆．又x2＋y2＋x＋2y＋1＝0，即＋(y＋1)2＝，所以它表示以为圆心，为半径的圆． (4) x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0. 【解答】 方法一：因为D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，所以D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.当m＝2 时，方程表示一个点；当m≠2时，方程表示圆，此时圆心坐标为(2m，－m)，半径r＝＝|m－2|.　 方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2.当m＝2时，方程表示一个点；当m≠2时，方程表示一个圆，其圆心坐标为(2m，－m)，半径r＝|m－2|. 判断一个二元二次方程是否能表示圆的一般步骤：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即含x2与y2项的系数相等且不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再判断它能否表示圆，此时有两种方法：①判断D2＋E2－4F是否大于零；②直接配方变形为类似于圆的标准方程的形式，看等式的右边是否为大于零的常数． 探究2　求圆的一般方程 例2　经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|等于(　A　) A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为圆经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)，所以解得从而圆的方程为x2＋y2－2x－3＝0，整理得(x－1)2＋y2＝4，于是圆心到y轴的距离d＝1，故|MN|＝2＝2. 求圆的方程时，如何判断该用圆的一般方程还是标准方程？ (1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程时，一般采用圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，用待定系数法求出a，b，r. (2) 如果已知条件和圆心、半径无直接关系时，一般采用圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，用待定系数法求出参数D，E，F. 变式2　如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，O为MN的中点，求这个等腰梯形的外接圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． (变式2) 【解答】 由等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，知点M，N，P的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(2，3).设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将M，N，P三点的坐标分别代入上述方程，可得解得所以所求圆的一般方程为x2＋y2－y－9＝0，其圆心坐标为，半径r＝＝. 探究3　求与圆有关的动点的轨迹方程 例3　(教材P87例5)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程． 【解答】 设点M的坐标是(x，y) ... ...