中小学教育资源及组卷应用平台 重难突破10 切线的证明与计算综合 重难突破 1．（2022秋·福建南平·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°． （1）判断CG与圆O的关系，并说明理由； （2）若CD=6，求线段GF的长度． 【答案】（1）CG是圆O的切线，证明见解析；（2）． 【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180-∠D-∠G=120，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线； （2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出GF的长即可． 【详解】解： （1）证明：连接OC． ∵OC＝OD，∠D＝30， ∴∠OCD＝∠D＝30， ∵∠G＝30， ∴∠DCG＝180﹣∠D﹣∠G＝120， ∴∠GCO＝∠DCG﹣∠OCD＝90， ∴OC⊥CG． 又∵OC是⊙O的半径． ∴CG是⊙O的切线． （2）∵∠D＝∠G＝30， ∴CG＝CD， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE＝CD＝3． ∵在Rt△OCE中，∠CEO＝90，∠OCE＝30， ∴EO＝CO，， 设EO＝x，则CO＝2x． ∴（2x）2＝x2+32． 解得x＝（舍负值）． ∴CO＝． ∴FO＝． 在△OCG中， ∵∠OCG＝90，∠G＝30， ∴GO＝2CO＝． ∴GF＝GO﹣FO＝． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，掌握勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系是解题的关键. 2．（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接交于点M，F是上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据是直径，得出，根据菱形性质得出，根据等腰三角形性质得出即可； （2）连接，根据是直径，得出，求出，根据菱形的性质得出，，证明，得出，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴是的切线． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，三角形全等的判定和性质，菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法． 3．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）如图，在中，，，，以C为圆心，半径为2作，点P在直线上，过点P作的切线，Q为切点，求切线长的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，过点C作于D，连接，利用勾股定理求出，进而利用面积法求出，再根据切线的性质和勾股定理推出当时，最小，即此时最小，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴要使最小，则要使最小， ∵点P在直线上， ∴当时，最小，即此时最小， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，正确推出当时，最小，即此时最小是解题的关键． 4．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州教育学院附属中学校考期中）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A＝60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）弦BD的长为6． 【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可； （2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长． 【详解】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵E是弦BD的中点， ∴BE＝DE，OE ... ...
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