《三角形的综合》精选压轴题（二）—2025年浙江省八（上）数学期中复习

《三角形的综合》精选压轴题（二）—2025年浙江省八（上）数学期中复习 一、单选题 1．（2021八上·下城期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，点P在边AB上.BC=6， AC=8， （　　） A．若∠ACP=45°， 则CP=5 B．若∠ACP=∠B，则CP=5 C．若∠ACP=45°，则CP= D．若∠ACP=∠B，则CP= 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵∠C=90°，点P在边AB上.BC=6， AC=8， ∴ ， 当CP为AB的中线时， ， 若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线， ∵BC≠AC， ∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误； 若∠ACP=∠B，如图2 ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠A+∠ACP =90°， ∴∠APC=90°，即CP为AB的高线， ∵BC≠AC， ∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误； 当CP为AB的高线时， ， 即 ，解得 ， 故D选项正确，C选项错误. 故答案为：D. 【分析】由选项知，A、C选项CP为顶角平分线，B、D选项为CP为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边中线等于5，利用等面积法可求出斜边上的高线为，由于三角形不是等腰三角形，可知斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，据此可得D正确. 2．（2024八上·温州期中）如图，在锐角三角形中，，边上的中线．过点A作于点E，记的长为a，的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于， ∴， ∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∵的长为a，的长为b， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 整理得：， 故答案为：D． 【分析】连接，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后由等腰三角形“三线合一”性质得，从而求出，接下来在、中，利用勾股定理分别表示出是值，最后进行整理即可得到答案. 3．（2023八下·海淀期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解∶如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值． ∴OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM； ∵∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°， ∴∠COD=2∠AOB=80°， 在△COD中，OC=OD，∠AOB＝40°， ∴∠OCD=∠ODC=50°； 在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON， ∴△CON≌△PON， ∴∠OCN=∠NPO=50°， 同理∠OPM=∠ODM=50°， ∴∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°． 故选：B． 【分析】 先分别过点P作OA、OB的对应点D和C，再连接CD分别交OA和OB于点M和N，由轴对称的性质知PM=DM、PN=CN，则△PMN的周长等于线段CD的长，即此时△PMN的周长最小，再根据轴对称的性质可得∠COD等于∠AOB的2倍即80°，OC=OP=OD，则由等腰三角形的内角和得∠OCD等于∠ODC等于50°，再由轴对称的性质可证△CON≌△PON，△ODM≌△OPM，则由全等三角形的对应角相等可得∠OCN等于∠NPO等于50°，∠OPM等于∠ODM等于50°，再由∠MPN=∠NPO+∠OPM即可求解． 4．（2024八上·拱墅期中）如图，四边形中，，的角平分线与点D，E为的中点，则与面积之差的最大值为（　　） A．9 B．4.5 C．3 D．1.5 【答案】B 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：延长交的延长线于H，过点D作于T， 设的面积为S， ∵平分 ... ...