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课件网) 4.7 相似三角形的性质 第四章 图形的相似 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等 于相似比的平方.（重点） 2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点） 学习目标 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ A B C A1 B1 C1 问题引入 在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？ 如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱. (1) △ACD 与△A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. 解：(1) △ACD 与△A′C′D′ 相似. 理由是∠A =∠A′，∠ADC =∠A′D′C′. 相似比是 1:2. 如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱. (2) 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 解：(2) 由 CD:C′D′ = 1:2，得 C′D′ = 2CD = 3 cm，即模型房的房梁立柱高 3 cm. 议一议 两个相似四边形的周长等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？ A B C D A′ B′ C′ D′ A B C D A′ B′ C′ D′ 连接BD和B′D′ ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′ 定理：相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 如果是四边形呢？你能通过类比得出四边形的结论吗？ 例2 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ). (1) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是多少？ A B D C A′ B′ D′ C′ 解：(1) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′， ∴ = = = = k . ∴ = k . 即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是 k . 例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （1）AE是Δ ASR的高吗？为什么？ （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ （3）求正方形PQRS的边长. S R Q P E D C B A 典例精析 （1）AE是ΔASR的高吗？为什么？ 解： AE是ΔASR的高. 理由如下： ∵AD是ΔABC的高， ∴ ∠ADC=90 °.， ∵四边形PQRS是正方形 ∴SR ∥BC ∴∠AER=∠ADC=90 °， ∴ AE是ΔASR的高. S R Q P E D C B A BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. 解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'． 又∵∠BAD= ∠BAC，∠B'A'D'= ∠B'A'C'， ∴∠BAD=∠B'A'D'． ∴△ABD∽△A'B'D'． ∴ ． ∴∠B=∠B'， ∴ ． ∴ ． ∴△ABE∽△A'B'E'． 又∵BE= BC，B'E'= B'C'， （2）∵△ABC∽△A'B'C'， 2. 若两个相似三角形的对应边之比为4∶5，则这两个相似三角形对应中 线的比为( A ) A. 4∶5 B. 16∶5 C. 16∶25 D. 8∶10 A 1 2 3 4 5 3. 如图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，如图2是它的侧面示意图， AD 与 BC 相交于点 O ，且 AB ∥ CD ，根据图2中的数据可得 x 的值为 ( B ) A. 0.8 B. 0.96 C. 1 D. 1.08 第3题图 B 1 2 3 4 5 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又BE,B'E'分别为对应角的平分线， ∴ △ABE∽△A′B′E′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想1 由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相似比． 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比． 归纳总结 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′ ... ...
