第一章 3.2 第2课时 等比数列的前n项和的性质（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

第2课时　等比数列的前n项和的性质 1.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,因为a6,3a4,-a5成等差数列,所以6a4=a6-a5,所以6a4=a4(q2-q),由题意得a4>0,q>0,所以q2-q-6=0,可得q=3,所以==1+q2=10.故选C. 2.A　[解析] 由题意知,S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,因为S3=8,S6=7,所以S6-S3=-1,所以8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=,因为a7+a8+a9=S9-S6,所以a7+a8+a9=.故选A. 3.A　[解析] 因为Sn为等比数列{an}的前n项和且S4≠0,所以S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,即3,6,S12-9成等比数列,所以S12-9==12,所以S12=9+12=21.故选A. 4.C　[解析] 因为数列{an}为等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,设S3=m,则S6=,则S6-S3=-,故==-,所以S9-S6=,得S9=m,所以S9∶S3=3∶4.故选C. 5.C　[解析] 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),因为a2=2,a5=,所以q3==,解得q=,则a2=a1=2,解得a1=4,所以a1a2=8.又当n≥2时,=q2,所以数列{an·an+1}是首项为8,公比为的等比数列,所以Tn=a1·a2+a2·a3+…+an·an+1==·.故选C. 6.D　[解析] 设数列{an}共有2m+1项,由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=, S偶=a2+a4+…+a2m=,因为项数为奇数时,S奇=a1+S偶q,所以2+q=,解得q=.所以Tn=a1a2…an=q1+2+…+n-1=,故当n=1或2时,Tn取得最大值2. 7.AB　[解析] 由等比数列的定义可知,数列{an}每项乘一个不为0的常数构成的新数列为等比数列,A正确;等比数列中等距离的项构成的数列为等比数列,B正确;因为m,2m,3m,…构成一个等差数列,所以当m≠0时an,an+m,an+2m,an+3m,…不能构成等比数列,C错误;取an=(-1)n,此时S2=0,S4-S2=0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不一定能构成等比数列,D错误.故选AB. 8.AD　[解析] 因为a1>1,a7·a8>1,<0,所以a7>1,a8<1,所以01,00,所以Sn无最大值,故C错误;又a7>1,a8<1,所以Tn的最大值为T7,故D正确.故选AD. 9.1533　[解析] 由S3=21,S6=189可知等比数列{an}的公比q≠-1, 所以S3,S6-S3,S9-S6成等比数列, 所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(189-21)2=21(S9-189),解得S9=1533. 10.　[解析] 设S3=t,则S6=3t,所以S6-S3=3t-t=2t.因为数列{an}是等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,且数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9的公比为2,所以S9-3t=t×22,即S9=7t,所以S12-S9=t×23,即S12=15t,所以==. 11.　[解析] 由a3,a9,a6成等差数列得a3+a6=2a9,即a3+a3q3=2a3q6,因为a3≠0, 所以1+q3=2q6,解得q3=1(舍去)或q3=-. 易知S9,S18-S9,S27-S18成等比数列, 所以S27=S9+(S18-S9)+(S27-S18)=S9(1+q9+q18)=S9=S9,所以=. 12.　[解析] ∵a4a12=2,∴=2,∴q6=2(q为{an}的公比).∵S6+λS12=S24,∴+λ·=,则1-q6+λ(1-q12)=1-q24,将q6=2代入,可得λ=. 13.解:(1)设数列{an}的公比为q(q≠1),因为a1为a2,a3的等差中项,所以2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2,即q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(舍去),所以等比数列{an}的公比为-2. (2)因为a1=1,q=-2,所以an=a1·qn-1=(-2)n-1,Sn===-. 14.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,由2S3=S1+S2得2(1+q+q2)=1+1+q,即2q2+q=0,得q=-,故an=a1qn-1=. (2)Sn==,则≤3,整理得≤-.当n为偶数时,>0,不合乎题意;当n为奇数时,=-,可得≥=,则n≤3.因此,使Sn≤3an成立的n的最大值为3. 15.2　[解析] 依题意知,公比q≠1,所以等比数列{an}的前n项和Sn==-·qn+,又Sn=p·3n-2,所以q=3,a1=4,则p=-=2. 16.解:(1)设数列{Sn+3}的公比为q(q≠0).由a1=3,得S1+3=6,所以Sn+3=6×qn-1,即Sn=6×qn-1-3.因为S1,S3,S4-2S1成等差数列,所以2S3=S1+S4-2S1,可得12×q2-6=6×q3-6,解得q=2或q=0(舍去),所以Sn=6×2n-1-3. (2)由(1)知Sn=6×2n-1-3,当n≥2时,Sn-1=6×2n-2-3,两式相减得an=3×2n-1(n≥2),又a1=3也满足上式,所以an=3×2n-1.设bn===(-1)n·.当n为 ... ...