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课件网) 探索三角形相似的条件 教师: 第一课时 北师大版九年级上册 情境导入 激发兴趣 01 如何测量大树的高度？ 面对无法直接攀爬的物体，我们能否用数学知识将“不可达”的高度转化为“可算”的数据？ 学校操场边有一棵大树，我们想要测量它的高度，但是不能直接爬上去测量。大家有什么好方法吗？ 实验探究 发现定理 02 实验探究：一个角相等，够吗？ 在方格纸上绘制一个含有45°角的三角形，观察并比较。 三角形 1 ≠ 三角形 2 结论：只有一个角相等，不足以保证三角形相似。 实验探究：如果两个角相等呢？ 第一组 ∠A=∠A'=30° ∠B=∠B'=60° 第二组 ∠A=∠A'=40° ∠B=∠B'=70° 第三组 ∠A=∠A'=50° ∠B=∠B'=80° 共同发现 第三角必然相等。 三边对应成比例。 定理：两角分别相等的两个三角形相似。 定理应用 典例解析 03 典例解析：平行线的妙用 例1：如图，DE ∥ BC，AB=7，AD=5，DE=10，求 BC 的长。 1. 找角等： ∵ DE ∥ BC, ∴ ∠ADE = ∠B, ∠AED = ∠C. 2. 定相似： ∴ △ADE ∽ △ABC. 3. 列比例：AD/AB=DE/BC 5/7=10/BC. 4. 求未知：BC=14. 变式训练：灵活应用 若已知 AB=10，DB=6，DE=8，求 BC？ 关键步骤 首先，求出 AD = AB - DB = 10 - 6 = 4. 建立比例 AD/AB=DE/BC 4/10=8/BC. 解得：BC=20 实际应用 解决问题 04 桥梁支撑结构中的相似三角形 已知条件 主梁 AB = AC = 20米 顶角 ∠A = 36° BD 是 ∠ABC 的平分线 实际应用问题： 一座桥梁的支撑结构如图所示，工程师需要计算斜拉索BD的长度。已知主梁AB = AC = 20米，形成一个等腰三角形的支撑结构，顶角∠A = 36°。为了增强稳定性，需要在点B处安装一条斜拉索BD到底梁AC上，其中BD是∠ABC的平分线。现在需要找出这个桥梁支撑结构中的相似结构。 步骤1: 计算△ABC的各角度 ∵ AB = AC ∴ ∠ABC = ∠ACB ∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180° 36° + 2∠ABC = 180° ∠ABC = ∠ACB = 72° 步骤2 & 3: 确定平分线并计算△BDC的角度 BD平分∠ABC ∠ABD = ∠DBC = 36° ∠BDC = 180° - 36° - 72° = 72° △BDC的内角： ∠DBC = 36° ∠BCD = 72° ∠BDC = 72° 步骤4 & 5: 识别并验证相似三角形 △ABC: 36°, 72°, 72° △BDC: 36°, 72°, 72° ∴ △ABC ∽ △BDC 验证△ABD: 36°, 36°, 108° 对应角不相等 无其他相似三角形 核心结论 △ABC ∽ △BDC 依据： 两角对应相等 桥梁支撑结构中的相似三角形 这一相似结构可用于进一步计算几何量，如线段长度或角度，在工程设计中具有实际应用价值。 数学建模思想 实际问题 几何图形 相似模型 建立方程 解决问题 课堂巩固练习 05 巩固练习：概念辨析 下列结论不正确的是（ ） A. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 B. 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似。 C. 有一个角等于 120° 的两个等腰三角形相似。 D. 有一个角为60° 的两个等腰三角形相似。 B 提升练习：面积之比 如图，在梯形ABCD中，AB // CD，对角线交于点O。若 DO=2, BO=3，求 S△DOC:S△AOB （面积比等于相似比的平方）。 解题思路 1. 由 AB // CD 易证 △DOC ∽ △BOA。 2. 相似比为 DO/BO=2/3。 3. 面积比等于相似比的平方：S△DOC:S△AOB =4/9。 拓展练习：图形中的相似 如图，在△ABC中，AB = AC，点D、E分别在边AB、AC上，且DE ∥ BC。 连接BE、CD，相交于点F。求证：△FBC ∽ △FED。 证明思路：从已知到结论 已知条件 △ABC 中 AB=AC，DE∥BC，BE 与 CD 交于 F。 关键推导 由 DE∥BC 得 ∠ADE = ∠ABC ， ∠AED = ∠ACB ；又因 AB=AC，故 ∠ABC = ∠ACB ，推出 ∠ADE = ∠AED 。 核心判定 在 △FBC 与 △FED 中，对顶角 ∠BFC = ∠EFD，内错角 ∠FBC = ∠FED。 最终结论 根据 ... ...
