第4单元 指数函数与对数函数（基础篇）（原卷版 解析版）

第4单元 指数函数与对数函数（基础篇） 基础知识讲解 一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【基础知识】 1、指数函数的定义： 一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）． 2、指数函数的解析式： y＝ax（a＞0，且a≠1） 【技巧方法】 ①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R． ②规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义； 如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在． 如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要， 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1． 二．指数函数的图象与性质 【基础知识】 1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质： y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 （0，+∞） 性质 过定点（0，1） 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 2、底数与指数函数关系 ①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴． ②底数对函数值的影响如图． ③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝的图象关于y轴对称． 3、利用指数函数的性质比较大小： 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较； 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值． 三．二次函数的性质与图象 【二次函数】 二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0） 【二次函数的性质】 二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移． 这里面略谈一下他的一些性质． ①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点． ②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1 x2＝； ③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离． ④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c； 四．指数型复合函数的性质及应用 【基础知识】 指数型复合函数性质及应用： 指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x） 复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理 U＝g（x） y＝au y＝ag（x） 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减． 五．指数函数的单调性与特殊点 【基础知识】 1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断． 2、同增同减的规律： （1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增； （2）如果0＜a＜1，则函数单调递减． 3、复合函数的单调性： （1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大； （2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自 ... ...