1.3正方形的性质与判定 【题型1】正方形的性质 3 【题型2】正方形的性质与坐标系 5 【题型3】正方形的性质与阴影面积 9 【题型4】正方形的判定 14 【题型5】正方形的性质和判定 18 【题型6】正方形的应用 22 【知识点1】正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 1.（2025春 江海区期末）下列说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角都是直角B．矩形的对角线互相垂直C．正方形的每一条对角线平分一组对角D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解． 【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【知识点2】正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 1.（2024春 镇海区校级期中）下列说法不正确的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线平分对角的四边形是菱形D．对角线平分对角的矩形是正方形 【答案】C 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可． 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形能判定是平行四边形，所以此选项不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形能判定是矩形，所以此选项不符合题意； C、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故该选项不能判定其为菱形，所以此选项符合题意； D、对角线平分对角的矩形能判定是正方形，所以此选不项符合题意； 故选：C． 【知识点3】正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【题型1】正方形的性质 【典型例题】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°到△BAF′位置，由题意可得出△DAF≌△BAF′， ∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，∴∠EAF′＝45°， 在△FAE和△EAF′中，AF=AF'，∠FAE=∠EAF′，AE=AE，∴△FAE≌△F′AE (SAS)，∴EF＝EF′， ∵△ECF的周长为4，∴EF＋EC＋FC＝FC＋CE＋EF′＝FC＋BC＋BF′＝DF＋FC＋BC＝4，∴2BC＝4，∴BC＝2. 【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】延长AE交DF于点G，如图所示， ∵AB＝5，AE＝3，BE＝4，∴△ABE是直角三角形， ∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形， ∴∠ABE＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠GAD＝∠EBA， 同理可得，∠ADG＝∠BAE， 在△AGD和△BEA中，∠EAB=∠GDA，AD=AB，∠ABE=∠DAG，∴△AGD≌△BEA(ASA)， ∴AG＝BE＝4，DG＝AE＝3，∴EG＝4－3＝1，同理可得，GF＝1，∴EF＝＝. 【举一反三2】如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足 ... ...
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