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课件网) 11.4.2 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 探究点一 垂直关系的相互转化 探究点二 面面垂直的性质定理的应用 探究点三 线线、线面、面面垂直的综合应用 【学习目标】 1.掌握面面垂直的性质定理； 2.灵活运用线面、面面垂直的性质定理解决空间中的位置关系问题； 3.借助平面与平面垂直的性质定理进行线面、面面垂直关系的转 化，培养逻辑推理素养和直观想象素养． 知识点 平面与平面垂直的性质定理 1.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线 _____于另一个平面 _____ 垂直 2.面面垂直的性质定理的作用 （1）判定直线与平面垂直; （2）由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若两个平面垂直，则这两个平面内任意两条直线互相垂直.( ) × [解析] 如图①，在正方体 中， 平面 平面, 但与 所成的角为 ,即与 不垂直. （2）若平面 平面 ，且直线 ，则直线垂直于平面 内 的无数条直线.( ) √ [解析] 如图②，平面 内存在无数条垂直于两 个平面交线的直线，这些直线都与直线 垂直. （3）若平面 平面 ，，，则 .( ) × [解析] 直线不一定在平面 内，根据平面与平面垂直的性质定理知， 直线不一定垂直于平面 . 2.黑板所在平面与地面所在平面垂直，如何在黑板上画一条与地面垂 直的直线？ 解：容易发现相邻墙壁所在平面与黑板所在平面的交线与地面垂直， 因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必 与地面垂直. 探究点一 垂直关系的相互转化 例1（1） 已知，是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的 平面，给出下列三个结论： ①若， ，，则 ； ②若 ，，，则 ； ③若 ， ，，则 . 其中正确的结论为( ) A.①② B.③ C.②③ D.①②③ √ [解析] 对于①，依据线面垂直的判定定理， 一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 才能得到该直线与此平面垂直，而只与 内的一 条直线垂直，不能得到 ，故①不正确． 对于②，如图，在长方体 中， 平面 平面，平面与平面 的交线为， 与平面的交线为，但 ，故②不正确． 对于③，若 ，，则在平面 内或 ， 若在平面 内，由 可得 ； 若 ，过作平面与 交于直线，则 ，由 得 ， 从而 ，故③正确．故选B. （2）设平面 平面 ,若平面 内的一条直线垂直于平面 内 的一条直线 ,则( ) A.直线必垂直于平面 B.直线必垂直于平面 C.直线不一定垂直于平面 D.过的平面与过 的平面垂直 [解析] 当两个平面垂直时,在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂 直于另一个平面. √ 变式 已知，为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则 下列四个结论中正确的是( ) A.若, ，则 B.若 , ，则 C.若 , , ，则 D.若, , ，则 √ [解析] 对于A，若, ，则与 平行、相交或在平面 内，故A错误； 对于B，若 , ，则与 平行、相交或 在平面 内， 故B错误； 对于C，若 , , ，则 ,所以 ，故C正确； 对于D，若, , ，则与 平行、相交或在平面 内， 故D错误.故选C. ［素养小结］ 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系 不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下： 探究点二 面面垂直的性质定理的应用 例2 如图，在直三棱柱中， 为正 三角形，点，分别在棱， 上，且 ， . （1）证明：平面 平面 ； 证明：取的中点，过点作，交 于点， 连接， ，如图． 由，且，得 ， 由，得，所以 ， 由，且可知，且 ， 所以四边形是平行四边形，所以 ． 因为为正三角形，点为 的中点，所以 ， 又平面 平面，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面，所以 ... ...
