4.2　第1课时　等差数列的概念及通项公式（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 第四章 数列 4.2　等差数列 第1课时　等差数列的概念及通项公式 学习 目标 1. 理解等差数列与等差中项的概念． 2. 掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． 3. 掌握等差数列的判断与证明方法． 新知初探 基础落实 一、 概念表述 1. 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个_____，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，公差通常用字母d表示，可正可负可为零． 2. 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝_____． 常数 公差 a1＋(n－1)d 2 3. 等差数列与一次函数的联系与区别 等差数列 一次函数 解析式 an＝dn＋(a1－d)(n∈N*) f(x)＝dx＋(a1－d)(d≠0，x∈R) 相同点 当d≠0时，解析式是关于自变量n的一次形式 解析式是关于自变量x的一次形式 不同点 (1) 其中d是数列的公差，没有限定d≠0，当d＝0时表示的是常数列； (2) 定义域为N*或其有限子集； (3) 图象是一条直线上均匀分布的一系列孤立的点 (1) 其中d是直线的斜率，限定了d≠0； (2) 定义域为R； (3) 图象是一条不能与x轴平行或重合的直线 4. 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，____叫做a与b的等差中项，这三个数满足关系式a＋b＝_____． A 2A 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. (　　) (2) 在等差数列{an}中，a10＝a1＋a9. (　　) (3) 若等差数列{an}的公差d＜0，则数列{an}是递减数列；若d＞0，则数列{an}是递增数列. (　　) (4) 若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2. (　　) (5) 等差数列{an}的通项公式为关于n的一次函数，一次项系数就是数列的公差． (　　) × × √ √ √ 典例精讲 能力初成 　　　判断下列数列是否为等差数列． (1) 在数列{an}中，an＝3n＋2； 1 等差数列的判定 【解答】 an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，由n的任意性知，这个数列为等差数列． 探究 1 (2) 在数列{an}中，an＝n2＋n. 【解答】 an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． 判断等差数列的方法： (1) 定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列； (2) 等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列； (3) 通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列． 【解答】 变式 　　　　　(教材P14例1补充)在等差数列{an}中： (1) 已知a3＝－2，d＝3，求数列{an}的通项公式； 等差数列的通项公式及其应用 【解答】 因为a3＝－2，d＝3，且an＝a3＋(n－3)d，所以an＝－2＋(n－3)×3＝3n－11. 探究 2 2－1 (2) 若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值． 【解答】 因为an＝a5＋(n－5)d，a5＝11，an＝1，d＝－2，所以1＝11＋(n－5)× (－2)，所以n＝10. 　　　　(教材P16例4)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}． (1) 求数列{bn}的通项公式． 【解答】 设数列{bn}的公差为d′.由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，于是b5－b1＝a2－a1＝8.因为b5－b1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2，所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n.所以数列{bn}的通项公式是bn＝2n. 2－2 (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由． 【解答】 数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1项，第5项，第9项，第13项，…，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn＝4n－3. ... ...