4.2　第2课时　等差数列的性质（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 第四章 数列 4.2　等差数列 第2课时　等差数列的性质 学习 目标 1. 能用等差数列的定义推导等差数列的性质． 2. 能用等差数列的性质解决一些相关问题，包括简单的应用问题． 典例精讲 能力初成 　　　(教材P16例3)某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围． 1 等差数列的实际应用 探究 1 【解答】 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． 　　　　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，那么4 km高度的气温是_____℃. 【解析】 用{an}表示自下而上n km高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝ －17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，所以an＝15－6.5n，所以a4＝－11. 变式 －11 　　　(1) (教材P17例5补充)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于 (　　) A. 7　 B. 14 C. 21　 D. 7(n－1) 2 等差数列的性质 【解析】 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. B 探究 2 (2) 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为 (　　) A. 0　 B. 37 C. 100　 D. －37 【解析】 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又因为d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100. C (1) 若{an}，{bn}是公差分别为d，d′的等差数列，则有： 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (2) 下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 　　　　(1) 在等差数列{an}中，若4(a2＋a5＋a8)＋6(a6＋a10)＝132，则a4＋a9等于 (　　) A. 9　 B. 10 C. 11　 D. 12 【解析】 在等差数列{an}中，4(a2＋a5＋a8)＋6(a6＋a10)＝132，由等差数列的性质可得12a5＋12a8＝132，所以a5＋a8＝11，故a4＋a9＝a5＋a8＝11. 变式 C (2) 已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为 (　　) A. －6　 B. 6 C. 0　 D. 10 【解析】 由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6. B 　　　已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是否为该数列的项． 3 灵活设元解等差数列 【解答】 方法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，解得a＝6.又前三项的乘积为66，所以6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5.由于该数列为递减数列，所以d＝－5，且首项为11，所以通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16.令－5n＋16＝－34，解得n＝10，所以－34是数列{an}的第10项． 探究 3 等差数列的设项方法与技巧 (1) 当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设 ... ...