第四章 章复习　能力整合与素养提升（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

章复习　能力整合与素养提升 要点梳理系统整合 一般 数列 通项 数列{an}中的项用一个公式表示：an＝f(n) 通项与前n项和的关系： an＝礻礻礻礻　　衤衤衤衤 前n项和 Sn＝a1＋a2＋…＋an 等差 数列 概念 定义 an＋1－an＝d（d为常数） 等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A＝ 通项 an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d 前n项和 Sn＝＝na1＋d 性质 当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap. 若{an}是等差数列，则“间隔相等的连续等长片段和序列也成等差数列”，即礻礻礻礻　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n　衤衤衤衤，…也成等差数列. 等比 数列 概念 定义 ＝q（q为常数），其中q≠0，an≠0 等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项，且A2＝ab 通项 an＝a1qn-1＝amqn－m 前n项和 Sn＝礻礻礻礻　　衤衤衤衤 当q≠1时，Sn＝qn＋＝aqn＋b，这里a＋b＝0 性质 当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，则有礻礻礻礻　aman＝apaq　衤衤衤衤，特别地，当m＋n＝2p时，则有aman＝a. 若{an}是等比数列，且公比q≠－1，则数列礻礻礻礻　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…　衤衤衤衤也是等比数列. 考法聚焦素养养成 考法1　等差数列、等比数列的基本量运算 例1　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1) 若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式； 【解答】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn-1.由a2＋b2＝2，得d＋q＝3①. (1) 由a3＋b3＝5，得2d＋q2＝6②.联立①②解得（舍去）或因此{bn}的通项公式为bn＝2n-1. (2) 若T3＝21，求S3. 【解答】由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6. 【题组训练】 1. （2023·新高考Ⅰ卷）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1) 若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求数列{an}的通项公式； 【解答】因为3a2＝3a1＋a3，所以3d＝a1＋2d，解得a1＝d，所以S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d.又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝，所以S3＋T3＝6d＋＝21，即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝（舍去），所以an＝a1＋(n－1)·d＝3n. (2) 若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 【解答】因为{bn}为等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即＝＋，所以6＝＝，即a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d.因为d＞1，所以an＞0.又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，所以a50－＝1，即a－a50－2 550＝0，解得a50＝51或a50＝－50（舍去）.当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d＞1矛盾，无解；当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝.综上，d＝. 2. （2022·新高考Ⅱ卷）已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1) 求证：a1＝b1； 【解答】设数列{an}的公差为d，所以解得b1＝a1＝，所以原命题得证． (2) 求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数． 【解答】由(1)知，b1＝a1＝，所以由bk＝am＋a1知b1×2k-1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k-1＝2m，亦即m＝2k-2∈，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k＝2，3，4，…，10，故集合中的元素个数为10－2＋1＝9. 考法2　数列求和 例2　（2025·开封期末）已知{an}是等差数列，且a1＋a3＋a5＝15，a2＋a4＋a6＝21. (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】已知{an}是等差数列，设公差为d，由a1＋a3＋a5＝15，得3a3＝15，a3＝5.由a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5)＝21－15＝6，得3d＝6，d＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1. (2) 设数列bn＝，若b1＋b2＋b3＋…＋bn＜，求满 ... ...