微专题6 曲线的切线 典例剖析素养初现 探究1 在某点处的切线 例1 (1) (2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则a＋b＝_____． (2) (2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤： 第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； 第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0). 探究2 过某点的切线 例2 已知曲线C：y＝x3＋2和点P(1，3)，求过点P且与曲线C相切的直线方程． 求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 变式 若过点A(a，0)的任意一条直线都不与曲线C：y＝(x－1)ex相切，则a的取值范围是_____. 探究3 公切线问题 例3 (1) 已知曲线f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_____. (2) 已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝_____. 解决此类问题通常有两种方法： (1) 利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； (2) 设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点为P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切．直线与抛物线相切可用判别式法． 变式 (2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝_____． 随堂内化及时评价 1. 设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A. ∪ B. C. ∪ D. 2. 曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( ) A. x－y－π－1＝0 B. 2x－y－2π－1＝0 C. 2x＋y－2π＋1＝0 D. x＋y－π＋1＝0 3. (多选)设直线l是曲线y＝9x2－2＋ln x的切线，以下判断正确的有( ) A. 曲线在x＝处的切线斜率为10 B. 有且只有一条直线l的斜率为6 C. 存在一条直线l的斜率为5 D. 曲线有且仅有一个零点 4. 已知函数g(x)＝的图象与函数f(x)＝a ln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为_____. 配套新练案 一、 单项选择题 1. 设f(x) 为R 上的可导函数，且 ＝－2，则曲线y＝f(x) 在点(1，f(1) )处的切线斜率为( ) A. 2 B. －1 C. 1 D. － 2. (2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为( ) A. y＝x B. y＝x C. y＝x＋ D. y＝x＋ 3. 过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1 相切的直线方程为( ) A. x－y－3＝0 B. x－y＋3＝0 C. x＋y＋3＝0 D. x＋y－3＝0 4. 若曲线y＝－ 在点(0，－1) 处的切线与曲线y＝ln x 在点P处的切线垂直，则点P的坐标为( ) A. (e，1) B. (1，0) C. (2，ln 2) D. 二、 填空题 5. (教材P103第4(2) 题)曲线y＝在x＝处的切线方程为_____． 6. (2022·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，若曲线y＝f(x)在点处的切线也是曲线y＝g(x)的切线，则a＝_____． 7. (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_____． 8. 过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程：_____． 9. 与曲线y＝ ... ...
