第五章 微专题8　恒成立与能成立问题（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

微专题8　恒成立与能成立问题 典例剖析素养初现 探究1　单变量恒成立与有解问题 视角1　参变量分离法 例1 1　已知函数f(x)＝ln x－ax(a是正常数)． (1) 当a＝2时，求f(x)的单调区间与极值； (2) 若 x>0，f(x)<0，求a的取值范围． 不等式恒成立、能成立常见的转化策略： (1) a＞f(x) 恒成立 a＞f(x)max，a＜f(x) 恒成立 a＜f(x)min ； (2) f(x)＞g(x)＋k 恒成立 k＜[f(x)－g(x)]min ； (3) f(x)＞g(x) 恒成立 [f(x)－g(x)]min＞0 ； (4) a＞f(x) 能成立 a＞f(x)min，a＜f(x)能成立 a＜f(x)max. 变式1 1　已知函数 f(x)＝x ln x(x＞0). (1) 求函数f(x)的极值； (2) 若存在x∈(0，＋∞)，使得 f(x)≤ 成立，求实数 m 的最小值． 视角2　同构 例1 2　若 x∈(0，＋∞)，memx≥ln x恒成立，则实数m的最小值是_____. 指对同构的常见方法： (1) 积型：aea≤b ln b aea≤ln b·eln b f(x)＝xex (同左)；aea≤b ln b ea·ln ea≤b·ln b f(x)＝x ln x (同右)；aea≤b ln b a＋ln a≤ln b＋ln (ln b) f(x)＝x＋ln x (取对数). 说明： 取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知． (2) 商型：＜ ＜ f(x)＝ (同左)；＜ ＜ f(x)＝(同右)；＜ a－ln a＜ln b－ln (ln b) f(x)＝x－ln x (取对数). (3) 和差型：ea±a＞b±ln b ea±a＞eln b±ln b f(x)＝ex±x (同左)；ea±a＞b±ln b ea±ln ea＞b±ln b f(x)＝x±ln x(同右). 变式1-2　若不等式 ex＋a≥ln x－a 恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. [0，＋∞)　 B. [－1，＋∞) C. 　 D. [－e，＋∞) 探究2　双变量恒成立与有解问题 例2　已知函数 f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，g(x)＝ex－ax. (1) 求f(x) 的最大值； (2) 若对 x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈[1，2]，使得 f(x1)≤g(x2) 成立，求a的取值范围． 常见的双变量恒成立能成立问题的类型： (1) 对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)max. (2) 若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2) min. (3) 对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)min. (4) 若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2)max. (5) 若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2)max. (6) 若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2) f (x)的值域与g(x)的值域的交集非空． 变式　已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1 ，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是_____． 随堂内化及时评价 1. 已知f(x)＝a－2ln x(a＞0)在[2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. [1，＋∞) D. (1，＋∞) 2. 已知函数f(x)＝－mx＋3，g(x)＝ln x，若 x∈(0，e]，f(x)－g(x)≥1恒成立，则实数m的取值范围是_____． 3. (2024·杭州期末)设a为实数，函数f(x)＝x3－3x2＋a，g(x)＝x ln x . (1) 求f(x)的极值； (2) 对 x1∈[1，3]， x2∈，都有f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围. 配套新练案 一、 单项选择题 1. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax对x∈[1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. (－∞，0) B. (－∞，1] C. (0，＋∞) D. [1，＋∞) 2. 若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上为减函数，则m的取值范围是(　　) A. [24，＋∞) B. [－1，＋∞) C. (－∞，－3] D. (－∞，0] 3. 若f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则a的取值范围是(　　) A. (－∞，－2] B. 　　　　 C. D. (－2，＋∞) 4. 已知函数f(x)＝－mx，若f(x)<0在(0，＋∞)上有解，则m的取值范围是(　　) A. (e，＋∞) B. (－∞，e) C. D. 二、 多项选择题 5. 已知函数f(x)＝x3－2x2＋3 ... ...