第五章 章复习　能力整合与素养提升（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

章复习　能力整合与素养提升 要点梳理系统整合 导数及其应用 概念与几何意义 概念 f(x)在点x0处的导数f′(x0)＝ 几何意义 (1) “在”点(x1，y1)处的切线： ①斜率k＝f′(x1)；②切线方程为__y－y1＝f′(x1)(x－x1)_． (2) “过”点(x1，y1)的切线： ①设切点(x0，y0)；②求切线方程；③列方程组：点(x1，y1)在切线上，y1＝f(x1)，即在__y1－y0＝f′(x0)(x1－x0)_上；④解方程组，得x0，求切线． 物理意义 __v＝s′(t)_表示瞬时速度，__a＝v′(t)_表示加速度． 运算 基本 公式 ①C′＝0；②(xn)′＝nxn-1；③(sin x)′＝cos x；④(cos x)′＝－sin x；⑤(ax)′＝ax ln a；⑥(ex)′＝ex；⑦(logax)′＝；⑧(ln x)′＝. 运算 法则 (u±v)′＝__u′±v′_；(uv)′＝__u′v＋uv′_；′＝__(v≠0)_； 复合函数求导法则：__[f(g(x))]′＝f′(g(x))g′(x)_． 研究函数性质 函数的 单调性 ①若f′(x)>0，则f(x)为增函数；若__f′(x)<0_，则f(x)为减函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数． ②若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则__f′(x)≥0_，反之等号不成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，反之等号不成立． 极值 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有__f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0).极大值和极小值统称为极值． 最值 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的__最小者_． 考法聚焦素养养成 考法1　导数的几何意义 例1　(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ln (1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为__(ln 2)x＋y－ln 2＝0_． 【解析】f′(x)＝－×ln (x＋1)＋×，据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2，所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，即(ln 2)x＋y－ln 2＝0. 【题组训练】 1. 已知曲线y＝ln x－x2上的一点P(1，f(1))，在点P处的切线的倾斜角为θ，则角θ＝___． 【解析】因为y＝ln x－x2，所以y′＝－2x，则y′|x＝1＝－1，即tan θ＝－1.又θ∈[0，π)，所以θ＝. 2. 已知函数f(x)＝2sin x＋3xf′(0)，则y＝f(x)在点处的切线方程是__3x＋y－2＝0_． 【解析】由f(x)＝2sin x＋3xf′(0)，得f′(x)＝2cos x＋3f′(0)，所以f′(0)＝2cos 0＋3f′(0)，得f′(0)＝－1，所以f(x)＝2sin x－3x，f′(x)＝2cos x－3，则f′＝2cos －3＝－3.又f＝2sin －3×＝2－，所以曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y－2＋＝－3，即3x＋y－2＝0. 3. 若过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程为__27x－y－54＝0或y＝0_． 【解析】因为点(2，0)不在函数f(x)的图象上，所以它不是切点．设切点为P(a，a3)，f′(x)＝3x2，则k＝3a2＝，解得a＝3或a＝0，切线的斜率为27或0.当k＝27时，切线方程为27x－y－54＝0；当k＝0时，切线方程为y＝0. 考法2　含参函数的单调性讨论 例2　已知函数f(x)＝ax＋＋(1－a2)ln x，a∈R，求函数f(x)的单调区间． 【解答】因为f(x)＝ax＋＋(1－a2)ln x，x>0，所以f′(x)＝a－＋＝＝，当a＝0时，f′(x)＝>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a≠0时，令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－，当a>0时，令f′(x)>0，即x>a时，函数单调递增；令f′(x)<0，即00，即0－时，函数单调递减．综上所述，当a＝0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)；当a<0时，f(x) ... ...