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课件网) 9.2.3 向量的数量积 第1课时 向量数量积的定义、投影向量 探究点一 向量数量积的运算 探究点二 平面向量数量积的基本性质 探究点三 投影向量 【学习目标】 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理 意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义, 体会平面向量数量积与投影向量的关系. 1.定义:已知两个非零向量和,它们的夹角是 ,我们把数量__ _____叫作向量和 的数量积，记作_____,即_____. 我们规定：零向量与任一向量的数量积为___. 知识点一 向量的数量积 0 2.两个非零向量和的夹角公式:两个非零向量和的夹角 ，可以 由 _ ____求得.特别注意向量夹角的取值范围是_____. 【诊断分析】 1.向量的数量积的运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 解：向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积运算结果是数量. 2.两个非零向量的数量积是否可为正数、负数和零，其数量积的符号 是由什么来决定的？ 解：数量积的符号是由两个非零向量的夹角 决定的. 当 时，非零向量的数量积为正数. 当 时，非零向量的数量积为零. 当 时，非零向量的数量积为负数. 知识点二 数量积的性质 设,是非零向量,它们的夹角是 ,则 （1） _____. （2）当与同向时,_____;当与反向时, _____. 特别地,_____或 _____,此性质可用来求向量的模, 这两个等式实现了实数运算与向量运算的相互转化. （3）对任意两个向量,, ,当且仅当_____时等号成立. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）已知，，且，则 .( ) × [解析] ， 当与同向时，； 当与 反向时， . （2）设向量与的夹角为 ,则的充要条件是 . ( ) √ 知识点三 投影向量 投影向量:如图所示,设,是两个非零向量,表示向量, 表示向 量,过点作所在直线的垂线，垂足为点.我们将上述由向量 得到向量的变换称为向量向向量_____, 向量称为向量 在向量 上的_____. 投影 投影向量 对于向量,,向量在向量 上的投影向量为_ _____. 向量和的数量积就是向量在向量上的_____与向量 的 _____，即_____. 投影向量 数量积 【诊断分析】 若,,与的夹角为 ,则在 上的投影向量为( ) A. B. C. D. [解析] 在上的投影向量为 . √ 探究点一 向量数量积的运算 例1 已知， . （1）若，求 的值； 若与同向，则 ， ； 若与反向，则 ， . 解：设与的夹角为 . （2）若，求 的值； 解：当时， ， . （3）若与的夹角为 ，求 的值. 解：当与的夹角为 时， . 变式 在等腰直角三角形中，，则 ___， ____， _____. 0 16 [解析] 由题意知 ， ， ， ， ， . ［素养小结］ 求平面向量数量积的一般步骤：（1）求与的夹角 ， ； （2）分别求和；（3）代入公式 ，求数量积 要特别注意书写时与 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接， 也不能省去. 探究点二 平面向量数量积的基本性质 例2 给出以下结论:;②若非零向量, 共线,则 ;;④已知,,是三个非零向量,若 , 则;;⑥若非零向量,满足,则 与 的夹角为锐角.其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ [解析] 由平面向量数量积的定义知①正确;当, 反向共线时, ,故②错误;③显然正确;若,则,又,, 是三个非零向量,所以,所以 ,故④正确; , ,所以 ,故⑤ 错误;当与的夹角为 时,也有 ,故⑥错误.综上可知,①③④ 正确.故选C. 变式 已知,, 是三个非零向量,则下列说法中正确的个数为( ) ①若,则 ; ②若,反向共线,则 ; ③若,则 ; ④若,则 . A.1 B.2 C.3 D.4 √ [解析] 对于①,设,的夹角为 , , ，,为非零向量,,或 , , 故①正确;对于②,若,反向共线,则,的夹角为 , ,故②正确;对于③,将向量, 的起点 平移到同一点,以表示向量, 的有向线段为邻边作平行 ... ...
