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课件网) 9.2.3 向量的数量积 第2课时 向量数量积的运算律 探究点一 向量数量积的运算律 探究点二 数量积运算律的应用 探究点三 向量模、夹角的计算问题 探究点四 两个非零向量的垂直问题 【学习目标】 理解平面向量数量积的运算律，会用数量积判定两个平面向量 的垂直关系. 知识点一 向量数量积的运算律 向量数量积满足的运算律 （1） ； （2）（ 为实数）； （3） . 知识点二 平面向量数量积运算的常用公式 多项式乘法 向量数量积 _____ _____ _____ _____ _____ 探究点一 向量数量积的运算律 例1 （多选题）设,, 是不共线的非零向量,则下列结论正确的是 ( ) A. B.不与 垂直 C. D. √ √ √ [解析] 根据向量数量积的分配律知A正确; 因为 ,所以 与垂直,故B错误; 因为非零向量,不共线,所以 ,,可作为三角形的三边长, 所以 ,故C正确; 易知D正确.故选 . 变式 （多选题）将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比， 得到下列结论，其中正确的是( ) A. B. C. D.由，可得 [解析] 因为平面向量的数量积运算满足交换律和分配律，不满足结 合律，所以A，C正确，B错误； 由 ，得，从而或 ，故D错误.故选 . √ √ 探究点二 数量积运算律的应用 例2（1） 已知,,且向量与的夹角为 ,求 ； 解： . （2）在中,是的中点,,,求 的值. 解： , , . 变式（1） 已知向量,,满足,, ,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为,所以,即 , 即,整理得 , 所以 .故选C. √ （2）[2024·大连育明中学高一期中] 如图， 四边形为平行四边形， ， ，点，满足 ， ，求 的值. 解：由题意， ， ， 则 ， 又,，所以 . ［素养小结］ （1）求两个向量的数量积,应首先确定两个向量的模及夹角,其中准 确求出两个向量的夹角是求数量积的关键. （2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于 多项式的乘法运算. 探究点三 向量模、夹角的计算问题 例3 已知向量,满足,,且与的夹角为 . （1）求 ; 解： . （2）求与 的夹角. 解：设与的夹角为 ,则 , , , , 又, , 即与的夹角为 . 变式（1） [2024·合肥一中高一期中] 非零向量， 满足 ，若，则， 的夹角为__. [解析] 设，的夹角为 ，则 ， 且， ， ， 又， . （2）如图所示,在中,已知 , , ,,边上的中线, 相交于点,求 . 解：因为,分别为, 边上的中线, 所以点为的重心,则 . 设,,则 , 所以 , 故 . ［素养小结］ 求平面向量的模和夹角时要注意数量积运算律的正确运用,在解决与 图形有关的模与夹角问题时要注意选择合适的向量表示及公式的正 确计算. 探究点四 两个非零向量的垂直问题 例4 已知非零向量,满足,与的夹角的余弦值为 ,若 ,则实数 的值为( ) A.4 B. C. D. [解析] 设与的夹角为 ,则 , 所以. 因为,所以 ,即, 即,所以,解得 .故选B. √ 变式 [2024·北京房山区高一期中]若向量,满足， ， 且，则向量与 的夹角为( ) A. B. C. D. [解析] 设向量与的夹角为 . 方法一：由 ，得 ，即 ， 又，所以 .故选B. √ 方法二：根据已知条件画出图形，如图所示， 由图知，， 则 ， 故向量与的夹角为 . ［素养小结］ 解决与两个非零向量的垂直有关的问题时要利用 . 拓展 已知和是平面内的两个单位向量,且与的夹角为,若向量 满足,则 的最大值是_ ____. [解析] 设,,, 连接,,,则 , . 因为,所以,即 , 所以在以为直径的圆上. 设的中点为,连接, 因为和 是平面内的两个单位向量,且与的夹角为, 所以 ,, 所以 . 1.数量积对结合律一般不成立，因为是一个与 共线的向量， 而是一个与 共线的向量，两者一般不同． 2.类比实数运算律:在实数中,若,,则 ,但是在数量积 中, 已知向量,,,由, 不能推出 . 如图所示， , ,故 ,但 . 1.求向量的模常用平方转化法 或 ,此性质可用来求向量的模,可以实 ... ...
