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课件网) 9.3.1 平面向量基本定理 探究点一 对基底概念的理解 探究点二 用基底表示向量 探究点三 平面向量基本定理的应用 【学习目标】 了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简 单数学问题. 知识点一 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果, 是同一平面内两个_____的向量,那 么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使 _____. 不共线 2.基底:我们把两个_____的向量, 叫作这个平面的一组基底. 不共线 3.正交分解：平面内任一向量可以用一组基底， 表示成 的形式，我们称_____为向量 的分解，当 ,所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量 的_____. 正交分解 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）一个平面只有一组基底.( ) × （2）只有不共线的两个向量才可以作为一组基底．( ) √ （3）平面的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的分解也是唯 一确定的．( ) √ （4）若，是同一平面内两个不共线的向量，则 （， 为实数）可以表示该平面内所有向量．( ) √ 2.平面内任何一个向量都可以表示成（， 为平面的 一组确定的基底）的形式，这种表示形式是唯一的吗？ 解：表示形式是唯一的. 知识点二 平面向量基本定理的应用 1.平面向量基本定理唯一性的应用: 设，是同一平面内的两个不共线向量,若 ， 则 2.重要结论：设，是平面的一组基底，且 . ①当时，与 共线； ②当时，与 共线； ③当时， . 探究点一 对基底概念的理解 例1（1） 设, 是平面的一组基底,则下列四组向量中不能作为一 组基底的是( ) A., B., C., D., [解析] ,和 共线, , 不能作为一组基底.故选B. √ （2）（多选题）下列说法中正确的是( ) A.一个平面内只有一对不共线向量可构成该平面内的基底 B.一个平面内有无数对不共线向量可构成表示该平面内的基底 C.零向量不可作为基底中的向量 D.一对不共线的单位向量可构成该平面内的一组基底 [解析] 只要是平面内的一对不共线的向量,就可构成该平面内的一组 基底,所以A不正确,B,D正确; 因为零向量与任意向量平行,所以C正确. 故选 . √ √ √ 变式（1） 设是平行四边形 两条对角线的交点,给出下列四组 向量: ,;,;,;, . 其中能作为平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ [解析] 与不共线;,则与共线; 与 不共线;,则与 共线. 由基底的概念知,只有不共线的两个向量才能作为平面内的一组基底, 故①③符合题意.故选B. √ （2）设,不共线,,,试判断, 能否作为一组 基底. 解：假设存在实数 ,使得, 则 ,即. , 不共线, 该方程组无解,从而, 不共线, , 能作为一组基底. ［素养小结］ 判断两个向量是否能作为一组基底,主要看两向量是否非零且不共线. 此外,一个平面的基底一旦确定,那么该平面内任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来. 探究点二 用基底表示向量 例2 如图所示，四边形 是一个梯形， ，且，，分别是 和 的中点.已知,,用， 表示 . 解：在四边形中，， 即 ， 所以 . 变式 如图，在中，是边的中点，点在边 上，且满足 ,与交于点.试用，表示和 . 解：因为 ，所以， 则 . 设 ， 所以 ， 又，，三点共线，所以 ，解得， 所以 . ［素养小结］ 解决用已知向量表示其他向量的问题的关键是正确利用向量的加法、 减法及数乘的几何意义. （1）若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法的 三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底 的关系. （2）若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点 出发的两个不共线向量作为基底，然后用上述方法求解. 拓展 已知点为的重心，过点作一条直线与边, 分别交 于,，若,,,，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D ... ...
