(
课件网) 9.3.2 向量坐标表示与运算 第1课时 向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示 探究点一 平面向量的坐标表示 探究点二 向量的坐标运算 探究点三 线段定比分点的坐标及应用 【学习目标】 1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量 的正交分解及坐标表示. 2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算. 知识点一 向量的坐标 1.平面向量的坐标表示如图，在平面直角 坐标系中，分别取与轴， 轴正方向相同 的两个单位向量, 作为基底，对于平面内 的向量 ，由平面向量基本定理可知，有 且只有一对有序实数 ，使得 .我们把有序实数对_____称为向量 的（直角）坐标，记作 _____. 2.起点为坐标原点的向量坐标与其终点坐标的关系：若 是坐标原点， 设，则向量的坐标就是终点 的坐标；反过来， 点的坐标就是向量 的坐标. 3.特殊向量的坐标：,, . 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）已知向量,,,则的坐标是 . ( ) √ （2）在平面直角坐标系中,任意向量 的坐标都是唯一的.( ) √ 2.如图,向量,是两个互相垂直的单位向量,向量 与的夹角是 ,且,以,为基底,向量 可以 表示为_____. 知识点二 向量线性运算的坐标表示 已知向量,和实数 ，则有下表: 符号表示 文字描述 加法 两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的____ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的____ 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标 和 差 【诊断分析】 已知向量,,,且,则 , 的值分别为( ) A.,1 B.1, C.2, D. ,2 [解析] 由可得 ， 则解得 √ 知识点三 平面向量的坐标表示 如图，若,,则 _____.这就是说，一个向 量的坐标等于该向量_____的坐标 _____的坐标. 终点 减去起点 【诊断分析】 已知平面向量，，则向量 ( ) A. B. C. D. [解析] 向量 .故选C. √ 探究点一 平面向量的坐标表示 例1（1） 已知向量的终点在射线 上,且起点为坐标原 点,若,则向量 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知, ，即 . √ （2）如图所示,在平面直角坐标系中,, 分别 为与轴、轴正方向相同的单位向量,, 是平面内的向量,且点的坐标为 ,则下列 说法正确的是_____.（填序号） ①③ ①向量 可以表示为 ; ②只有当的起点在原点时， ; ③若,则终点的坐标就是向量 的坐标. [解析] 由平面向量的基本定理知,有且只有一对实数, ,使得 ,所以①正确. 只有当时, ,所以②错误,③正确.故填①③. 变式 已知是坐标原点，点在第一象限，直线与 轴的夹角为 , . （1）求向量 的坐标； 解：设，则， ， ，， ， . （2）若，求 的坐标. 解： . ［素养小结］ 在表示点、向量的坐标时，可利用向量、点的坐标定义求坐标，也 可利用向量相等、加减法运算等求坐标. 探究点二 向量的坐标运算 例2 已知, ,求: （1） ; 解： . （2） ; 解： . （3） . 解： . 变式（1） 若向量,,,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 设,即 , 则解得所以 .故选B. √ （2）已知三点,,,则 _____, _____. [解析] ,,,, , , , . ［素养小结］ 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算法则进行,解 题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 拓展 已知,,,且 .试问: （1）为何值时,点在轴上 轴上 第一象限 解：, 点 的坐标为 . 若点在轴上,则,得. 若点在轴上,则 ,得. 若点在第一象限,则解得, 故当 时 , 点 在第一象限. （2）四边形能否为平行四边形 若能,求出相应的 值;若不能,请 说明理由. 解：由题得, . 若四边形为平行四边形,则,即解得 . 所以当时,四边形 为平行四边形. 探究点三 线段定比分点的坐标及应用 例3 已知两点，，点在直线 上，且满足 ，求点 的坐标. 解： ... ...
