(
课件网) 9.3.2 向量坐标表示与运算 第2课时 向量数量积的坐标表示 探究点一 平面向量数量积的坐标运算 探究点二 两平面向量的夹角、向量模的 坐标表示 探究点三 向量垂直的坐标形式的应用 【学习目标】 1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和 垂直等问题. 知识点一 向量数量积的坐标表示 1.向量数量积的坐标表示：若，，则 _____，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2.向量垂直的坐标表示：设两个非零向量， . 若，则；若，则 . 知识点二 用坐标表示模、距离、夹角 1.向量的模公式：若，则 _____. 2.两点间的距离公式：若，，则 _____. 3.向量的夹角公式：设两个非零向量， ，它 们的夹角为 ，则 _ _____. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若,,则 .( ) √ （2）已知向量,,若,则 .( ) × [解析] 由，得,解得 . （3）若两个非零向量的夹角 满足,则两向量的夹角 一 定是钝角.( ) × 探究点一 平面向量数量积的坐标运算 例1（1） 设，，，则 ( ) A.12 B.0 C. D. [解析] ，， ， 又， . √ （2）已知是腰长为2的等腰直角三角形,是斜边 的中点,点 在线段上,且,则 ( ) A. B. C. D.2 [解析] 如图,以C为坐标原点,, 所在直线分 别为轴、轴,建立平面直角坐标系, 则 , ,. 因为,所以 , 所以,所以, , 所以 .故选C. √ 变式1 已知与同向，， . （1）求 的坐标； 解：设，则， ， . （2）若，求及 的坐标. 解：， ， ， . 变式2 在正方形中,,为的中点,为 的中点,则 ___;若为上的动点（包括端点）,则 的最大值 为___. 1 3 [解析] 如图,以为坐标原点,, 所在直线分别 为轴、轴,建立平面直角坐标系, 则 , ,, 所以 , , 所以 . 设,则 , 所以, 因为 ,所以,所以 的最大值为3. ［素养小结］ 有关向量数量积的坐标运算问题，灵活应用基本公式是前提.设向量 一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设 向量.通过变式1第（2）问还可验证一般情况下 ， 即向量运算结合律一般不成立. 探究点二 两平面向量的夹角、向量模的坐标表示 例2 已知向量，满足， ，求： （1） ； 解：由已知得 . 所以，故 . （2）向量与 的夹角的余弦值. 解：由已知得 ， 则 ， 设与的夹角为 ， 则 . 变式（1） [2024·江阴四校高一期中]已知， ， 则在 上的投影向量是( ) A. B. C. D. [解析] 因为,， 所以 , . 设与的夹角为 ，所以在 上的投影 向量是 .故选B. √ （2）已知，，，求的值及 与的夹角 的余弦值. 解：因为,所以 ， 所以， 所以 . ［素养小结］ 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为： （1）利用向量的坐标求出这两个向量的数量积； （2）利用 求两向量的模； （3）代入夹角公式求 ，并根据 的范围确定 的值. 拓展 已知点,,（其中）, 为坐 标原点.若 ，求： （1）与 的夹角； 解：, , , 即, . 又,， . 又,， ,故与 的夹角为 . （2）点到直线 的距离. 解：点到直线的距离 . 探究点三 向量垂直的坐标形式的应用 例3 已知向量，，且 ，则 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 依题意得 , . 由于，所以 ， 即，解得 .故选C. √ 变式 已知，，若与垂直，则 的 值为____． [解析] ， ． 又与 垂直，所以， 即 ，解得 . ［素养小结］ 利用坐标表示是把向量垂直的条件代数化，使判定方法更加简捷、 运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想. 1.平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化， 并将数与形紧密结合起来.主要应用有：（1）求两点间的距离 （求向量的模）；（2）求两向量的夹角；（3）证明两向量垂直. 2.向 ... ...
