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课件网) 9.4 向量应用 探究点一 向量在物理中的应用 探究点二 利用向量证明几何问题 【学习目标】 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题,以及其他实 际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 知识点一 向量在物理中的应用 1.向量有着丰富的物理背景，如物理学中的力、速度、加速度都是 _____的量.力的做功是向量数量积的物理背景；向量 加法的_____法则与位移的合成、力的合成、速度 的合成有着密切的联系. 既有大小又有方向 三角形和平行四边形 2.用向量法解决物理问题的一般步骤: ①问题的转化：把物理问题转化成数学问题. ②模型的建立：建立以向量为主体的数学模型. ③参数的获取：求出数学模型的相关解. ④问题的答案：利用建立起来的数学模型，解释和回答相关的物理 现象. 【诊断分析】 用向量法求解物理问题的过程中，在给出答案时除了要考虑向量本 身的意义，还要考虑什么？ 解：在给出答案时还要考虑所给出的结果是否满足实际意义. 知识点二 向量在几何中的应用 1.证明线线平行或三点共线问题，常用向量平行（共线）的充要条 件： _____ _____ 2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：_____ _____ . 3.求夹角问题，主要应用向量的夹角公式 _ _____. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若为直角三角形,则 .( ) × （2）若,则 .( ) × （3）在四边形中,若,,则四边形 为菱形.( ) √ 探究点一 向量在物理中的应用 例1 如图所示，把一个物体放在倾角为 的斜面上，物体处于平 衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力 ， 垂直斜面向上的弹力.已知，求, 的大小. 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则， . 又由已知可得 ， 且 ， 所以， 所以 ， . 变式 若渡船在静水中的速度大小为，河宽为 ，水流的速 度大小为 ，当此船渡过该河的位移最小时，需要多长时间才能 从此岸到达彼岸？ 解：当合速度的方向垂直于河岸时，此船渡过该 河的位移最小，如图所示， 水流的速度为 ，则， 船的速度为，则 ， 合速度为，合速度的大小为，则，且 ， 设船速与合速度的夹角为 ，则 ， 此时，故渡河时间 ， 故此船渡过该河的位移最小时，需要 才能从此岸到达彼岸. ［素养小结］ 用向量的有关知识研究物理中有关力和速度等问题的基本思路和方 法如下： （1）认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系； （2）通过抽象概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题； （3）利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解； （4）利用这个结果，对原物理现象作出解释. 拓展 （多选题）[2024·江苏南通期中] 长江某段南北两岸平行，如 图，江面宽度.一艘游船从南岸码头 点出发航行到北岸.已 知游船在静水中的航行速度的大小为 ，水流速度 的大小为.设和的夹角为 ，则 ( ) A.当船的航行时间最短时， B.当船的航行距离最短时， C.当 时，船的航行时间为 D.当 时，船的航行距离为 √ √ [解析] 对于A，船的航行时间 ， 若要船的航行时间最短，则 最大， 也就是说当且仅当 时，船的航行时间最短，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时， 的方向与河岸垂 直， 从而 ，故B正确； 对于C，当 时，船的航行时间 ，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为,，位移和为 ， 则 ，其中 ， 又因为，， 和的夹角为 ，从而 ，故D错误.故选 . 探究点二 利用向量证明几何问题 角度1 垂直问题 例2 在直角梯形中,, , ,求 证: . 证明:方法一: ,,, 可设,, 则,, , , 则 , ,即 . 方法二:如图,以 为坐标原点,建立平面直角坐标系, 设,则,, , , , , ,即 . 变式 点在 所在的平面内,若 ,则为 的( ) A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 √ [解 ... ...
