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课件网) 11.2 正弦定理 第2课时 正、余弦定理的综合问题 探究点一 利用余弦定理、正弦定理解三 角形 探究点二 判断三角形的形状 探究点三 三角形面积公式的应用 【学习目标】 1.熟练利用正余弦定理结合三角恒等变换解三角形. 2.理解三角形面积公式并能结合正余弦定理解较复杂的三角形问题. 知识点一 三角形中边与角之间的关系 1.利用余弦定理和正弦定理进行边角转化 （1）_____；_____； _____. （2）___，___，__,其中为 的 外接圆半径. 2.在中，内角，，所对的边分别为，， . （1）若，则， 为_____三 角形； （2）若，则， 为_____三 角形； 钝角 直角 （3）若且且 ，则 ， ， ， 为_____三角形. 锐角 3.射影定理 在中，___； ___； __. 【诊断分析】 若的三边满足，则 为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 [解析] 设，，，其中 ， 则 ，故A是锐角， 由，得，所以 是锐角三角形． √ 知识点二 三角形的面积公式 1.已知的内角，，的对边分别为，，，则 _____ _____. 2.三角形中常用的结论 （1）在三角形中大边对大角，反之亦然； （2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）已知三角形的三边长为,,,内切圆的半径为 ,则三角形的面积 .( ) × [解析] 因为一个三角形可以分割成三个分别以,, 为底, 内切圆的半径为高的三角形, 所以三角形的面积 . （2）在中,若,,则 .( ) × [解析] 由,得, 所以, 所以 或 . （3）在中,若,, ,则 的面积是6.( ) √ [解析] 的面积 . （4）在中,若,则 .( ) × [解析] 在中,若,则或 , 即或 . 2.到目前为止,你知道的三角形的面积公式有几种形式 解：有三种形式: ①底乘高的一半; ②正弦定理的应用（即两边乘夹角正弦的一半）; ③海伦公式(设的三边分别为 ， 则 ). 探究点一 利用余弦定理、正弦定理解三角形 例1（1） 在中,内角,,的对边分别是,, ,已知 ,且,则 ( ) A.9 B.6 C.3 D.18 [解析] 在中,由 及正弦定理得 , 由余弦定理得 , 即,可得, 又 ,所以,所以 .故选A. √ （2）在中,,求 的值. 解： , 由正弦定理可得,, , 由余弦定理可得 . 变式1 已知的内角,,的对边分别为,, ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. [解析] , 由正弦定理得,即 , 由余弦定理得,又, .故选B. √ 变式2 在中，内角，，的对边分别为，， ，已知 . （1）求角 的大小； 解：因为 ，所以由正弦定理得 ， 所以 ， 又，所以，又，所以 . （2）若，，求 的值. 解：由余弦定理得，即，所以 . ［素养小结］ 求三角形中的一些基本量,主要指求三角形的三边、三角等,它的实质 是将几何问题转化为代数问题,解题关键是正确分析边角关系,依据题 设条件合理地设计解题步骤,利用三角形内角和定理、正弦定理及余 弦定理等进行边角关系的互化. 拓展 在中，已知，，，点 是的平分线与边 的交点. （1）求 的值； 解：因为， ，所以 ， 所以为锐角，所以 ， 所以 . （2）求 的长. 解：在中，由正弦定理得 ， 即，所以， . 因为点是的平分线与边的交点，所以 ， 又，所以， . 在 中，由余弦定理得 ，所以 . 探究点二 判断三角形的形状 例2 在中，已知 ，判断 的形状． 解：方法一：由 ，得 ，即 ， 由正弦定理得， ， 由余弦定理得 ， ， 整理得，即 ， 或 ， 是等腰三角形或直角三角形． 方法二：由 , 得 ， 由正弦定理得， ，， , ，即 ． ，是三角形的内角，或 ， 即 或， 是等腰三角形或直角三角形． 变式 在中，内角，，的对边分别为，， ，若 ，判断 的形状. 解：，， ， ， . 方法一：结合正弦定理得 ， 即， ， ，， 为等腰三角形． 方法二：结合余弦定理得 ， ，， ， 为等腰三角形． ［素养 ... ...
