第5单元 三角函数（基础篇）（原卷版 解析版）

第5单元 三角函数（基础篇） 基础知识讲解 一．运用诱导公式化简求值 【基础知识】 利用诱导公式化简求值的思路 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得． 二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R k∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R 单调性 递增区间： （2kπ﹣，2kπ+） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ+，2kπ+） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ﹣，kπ+） （k∈Z） 最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（kπ+，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴 周期 2π 2π π 三．同角三角函数间的基本关系 【基础知识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：＝tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α． 公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α． 公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα． 公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； （4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）tan（α+β）＝． （6）tan（α﹣β）＝． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α； （2）cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α； （3）tan 2α＝． 【技巧方法】 诱导公式记忆口诀： 对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 四．两角和与差的三角函数 【基础知识】 （1）cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； （4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）tan（α+β）＝． （6）tan（α﹣β）＝． 五．二倍角的三角函数 【基础知识】 二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2． 二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α． 二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可． 六．半角的三角函数 【基础 ... ...