第二十一章一元一次方程 第1讲 一元一次方程综合 基础班讲义（含答案）2025-2026学年人教版（2024）九年级数学上册

第1讲 一元二次方程 知识点1 一元二次方程的概念及解法 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax +bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax ，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数 一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方； 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论 （1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立 （2）一元二次方程的求根公式是 移项得： 二次项系数化为1，得： ： 即 当时， 即 ∴ 4. 因式分解法的一般步骤是： ①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解 【典例】一元二次方程定义及一般形式 1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】解：A：不是整式方程，故本选项错误； B：当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误； C：由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确； D：方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C． 2.把一元二次方程化成一般形其中、、分别为（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】B. 【解析】原方程可整理为：， ，，． 【方法总结】 （1）一元二次方程必须满足的条件： ①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程 （2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式； （3）项的系数包括它前面的符号。如：x +5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x； 3x +4x-1=0的常数项是-1而不是1； 【随堂练习】 1．若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0， 解得c=1； 故选：A． 　 2．若方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．n≠1 B．n≥0 C．n≥0且n≠1 D．n为任意实数 【解答】解：∵方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程， ∴n≥0且n﹣1≠0，即n≥0且n≠1． 故选：C． 【典例2】直接开平方法 1.若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何 ( ) A. 5 B. 6 C. D. 【答案】B. 【解析】由得，∴ ，， 又是正数且是此方程的根， ∴ ．同理， ∴ ． 2.解方程. 【解析】根据平方根的定义，得，即，． 【方法总结】 形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如果a＜0，则方程无解 【随堂练习】 1．方程（x﹣5）2=5的解为_____． 【解答】解：两边开平方可得x﹣5=±， ∴x=5±， 则x1=5+、x2=5﹣， 故答案为：． 　 2．解方程：（x﹣1）2=9． 【解答】解：两边开方得：x﹣1=±3， 解得：x1=4，x2=﹣2． 【典例3】配方法 1.已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】∵， ∴， ∴， ∴，据题意得p=3，9﹣q=7， ∴p=3，q= ... ...