2024级高二年级第一学期第1次模拟检测 数学试题参考答案 第I卷（选择题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A B A C C A ABD CD BC 第II卷（非选择题） 三、填空题：12．； 13．； 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15．解：（1）由直线的方向向量为可得直线斜率为， 由点斜式得直线方程为，即. （2）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； 16．解：（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以；所以直线与所成的角的余弦值为. 17．解：（1）连接，因为是线段的中点，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. （2）取中点，连接.因为为正三角形，为中点，所以. 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示. 取中点，则为外接圆的圆心. 又因为在同一个球面上，所以平面. 因为为正方形，为正三角形，，所以，设，则，. 因为，所以， 解得，所以.. 平面的法向量为.因为. 所以直线与平面所成角正弦值为. 18．解：（1）如图，由点在直线上，设，则的中点在直线上，所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 显然在上，则直线的斜率为， 则直线的方程为，整理得． （2）点到直线的距离为． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则有，解得或4， 所以直线的方程为或． 19．解：（1）取的中点N， 连接， 如图所示： 为棱的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面， 平面. （2）由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得， 也即 又平面平面，交线为,平面， 所以平面，又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点，，所在直线分别为轴建立直角坐标系，, 如图，则 为棱的中点， （i） 设平面的一个法向量为 则 令 则 平面的一个法向量为 所以二面角的正弦值为. （3）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是2024级高二年级第一学期第1次模拟检测 数学试题 2025.10 第I卷（选择题） 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（ ） A． B． C． D． 3．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，若，，三向量共面，则( ) A．18 B． C． D．6 5．如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（ ） A． B． C．2 D． 7．如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（ ） A． B． C． D． 8．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分， ... ...
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