1.3.2 利用完全平方公式进行因式分解 课件（13张PPT）2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

(课件网) 1.3 公 式 法 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解 学习目标 3.准确判断多项式是否符合完全平方公式的特点（难点） 1.掌握完全平方公式的结构特点 2.能用完全平方公式对多项式进行因式分解（重点） 1. 什么叫因式分解？ 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式 2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？ ① 提公因式法 ② 平方差公式 a2 － b2 = (a + b)(a － b) 复习导入 探索新知 1.请说出完全平方公式. 完全平方公式1： ， 完全平方公式2： . 2、反过来， x ＋2xy＋y = x －2xy＋y = (x＋y) = x ＋2xy＋y (x－y) = x －2xy＋y (x＋y) (x－y) 从左边到右边的这个过程叫_____. 从左边到右边的这个过程叫_____. 因此， 是因式分解中的一个公式. 整式乘法 因式分解 对照 ，填空： 1. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( ) 2.m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( ) 3.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( ) m x 2 2 x+2 m 3 3 m-3 x a a 2b 2b a+2 跟踪训练 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a ; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 不是 不是 分析： （2）因为它只有两项； （3）4b 与-1的符号不统一； 不是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 是 跟踪训练 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解. 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 例题讲解 分析 9x2 = (3x)2 ， 3x = 2·3x· ， 原式即可用完全平方公式进行因式分解. 把下列多项式因式分解： （1）x2+2x+1； 解：原式=x2+2·x·1+12 =(x+1)2 （2）x2+8x+16； 原式=x2+2·x·4+42 =(x+4)2 （3）x2－10x+25； 原式=x2－2·x·5+52 =(x－5)2 （4）16y2－24y+9； 原式=(4y)2－2·4y·3+32 =(4y－3)2 【选自教材P13 练习 第2题】 跟踪训练 把下列多项式因式分解： (2) －4x2＋12xy－9y2； 解： 原式＝－(4x －12xy＋9y ) ＝－[(2x) －2·2x·3y＋(3y) ] ＝－(2x－3y) . (1) x5＋2x3y＋xy2. 原式＝x(x4＋2x y＋y ) ＝x[(x ) ＋2·x ·y＋y ] ＝x(x ＋y) . 例题讲解 （3）x4－2x2＋1 原式＝(x ) －2·x ·1＋1 ＝(x －1) ＝[(x＋1)(x－1)] ＝(x＋1) (x－1) . 因式分解 时，必须进 行到每一个 因式都不能 分解为止. 把下列多项式因式分解： 【选自教材P13 练习 第2题】 （1）x4+2x2+1； 原式=(x2)2+2·x2·1+12 =(x2+1)2 （2）3x4+6x3y+3x2y2. 原式=3x2(x2+2·x·y+y2) =3x2(x+y)2 跟踪训练 （3）－2xy－x2－y2 ； 原式= －(x2+2xy+y2) =－(x+y)2 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y) －4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 － 4m + 4. 解：(x＋y) －4(x＋y)＋4 ＝(x＋y) －2·(x＋y)·2＋2 ＝(x＋y－2) . 利用完全平方公式因式分解 公式 a2±2ab＋b2 = (a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项； （2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 课堂小结 已知 x2－4x+y2－10y+29＝0，求 x2y2+2xy+1 的值. ＝112＝121. 解：由题可知 x2－4x+y2－10y+29 因为(x－2)2≥ 0，(y－5)2≥ 0， 所以x－2＝0，y－5＝0， 所以x＝2，y＝5. 所以 x2y2 + 2xy +1＝(xy +1)2 几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0 ＝x2－4x+4+y2－10y+25 ＝(x－2)2+(y－5)2 ＝0， 提升训练 ... ...