6.2.1 向量基本定理 同步练习（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 一、选择题 1.设e1,e2是不共线的两个非零向量,则下列四组向量不能作为一组基底的是 (　 ) A.e1与e1+2e2 B.e1+2e2与3e1-e2 C.e1+2e2与-2e1-4e2 D.3e1-e2与4e2-e1 2.[2024·辽宁大连高一期末] 在平行四边形ABCD中,=,=3,则 (　 ) A.=+ B.=+ C.=- D.=- 3.已知O,A,B,C为同一平面内的四个点,若2+=0,则向量= (　 ) A.- B.-+ C.2- D.--2 4.如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,设=a,=b,则= (　 ) A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 5.在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,e1=,e2=,若=xe1+ye2,则x+y的值为　　 (　 ) A.2 B. 8 C.7 D. 4 6.在△ABC中,点D在CB的延长线上,且=4=r-s,则s+r等于 (　 ) A.1 B. C. D.3 7.如图,在△ABC中,D是AB的中点,O是CD上一点,且=2,过点O作一条直线与边AC,BC分别相交于点E,F,若=,=μ,则实数μ的值为(　 ) A. 　　　B. C. 　　　D. 8.(多选题)[2023·广东佛山高一期末] 如图,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=,则 (　 ) A.=- B.=+ C.=+ D.+=2 9.(多选题)在梯形ABCD中,=2,=2,则下列结论正确的是 (　 ) A.=+ B.=+ C.若=2-,则点M在CB的延长线上 D.若=m+n,且m+n=,则△ABC的面积是△MBC面积的倍 二、填空题 10.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=　　　　(用a,b表示). 11.如图, 在△ABC中,点D,E分别在BC,AC上,且BD=DC,AE=2EC.若=x+y,则x= 　　　,y=　　　　. 12.在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.若=m,=n,则m+n=　　　　. 三、解答题 13.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线. (1)取BD的中点M,试用和表示; (2)若G是AD上一点,且=2,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于点F,若=λ,=μ(λ,μ>0),求λ+μ的最小值. 14.已知△ABC内一点P满足=λ+μ,若△PAB的面积与△ABC的面积之比为1∶3,△PAC的面积与△ABC的面积之比为1∶4,求实数λ,μ的值. 15.已知点A,B,C不共线,λ,μ为实数,=λ+μ,则“0<λ+μ<1”是“点P在△ABC内(不含边界)”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ★16.[2023·宁夏银川高一期末] 如图所示,在△ABC中,=a,=b,=2,=3. (1)试用向量a,b表示,; (2)若AE交BD于点O,求及的值. 6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 1.C　[解析] 对于C,-2e1-4e2=-2(e1+2e2),则向量e1+2e2与-2e1-4e2共线,不能作为一组基底.故选C. 2.B　[解析] 如图,由题得=+=+=+,故选B. 3.C　[解析] ∵2+=0,∴2(-)+-=0,∴=2-.故选C. 4.D　[解析] 连接OD,OC,DC,因为AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°.因为OA=OC=OD=AB,所以△AOC,△COD是等边三角形,所以四边形AODC是菱形,所以=+=+=a+b.故选D. 5.C　[解析] 在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,利用勾股定理可得AD=4.∵e1=,e2=,∴=3e1,==4e2,∴=+=3e1+4e2,∴x=3,y=4,故x+y=7.故选C. 6.C　[解析] ∵=4,∴=,又=-,∴=(-)=-,∴r=s=,∴s+r=.故选C. 7.B　[解析] ∵D是AB的中点,∴=(+),又=2,∴=-(+),∴=+=-(+)+=-,=+=-(+)+μ=-+.∵E,O,F三点共线,∴=λ,即解得故选B. 8.BCD　[解析] 对于A,由题意得=+=++=++=-++=-+,故A错误;对于B,=+=-+=+,故B正确;对于C,=+=+=+=+,故C正确;对于D,+=-+++=2,故D正确.故选BCD. 9.BCD　[解析] 在A中,=(+)==+,故A错误;在B中,=+=+,故B正确;在C中,∵=2-,∴-=-,即=, ∴点M在CB的延长线上,故C正确;在D中,设=,=,则=4m+4n,∵m+n=,∴4m+4n=1,∴M,G,F三点共线,又=,∴点M到BC的距离为点A到BC的距离的,∴△ABC的面积是△MBC面积的倍.故选BCD. 10.2a-2b　[解析] 设c=λa+μb,则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,所以解得故c=2a-2b. 11.-　　[解析] 因为BD=DC,AE=2EC ... ...