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课件网) 第四章 三角函数 4.7 余弦函数的图像和性质 高等教育-出卷网-《数学》 （基础模块 上册） 4.3.2 单位圆与三角函数 课题引入 1、如何利用正弦函数 的图象得到余弦函数 的图象？ 4.6.1 正弦函数的图像 探索新知 我们用描点法作出了正弦函数 y＝sinx在[0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π个单位长度)得到了正弦函数 y＝sinx, x∈R的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质． 对于余弦函数y＝cosx, x∈R, 可否用同样的方法来研究？ 4.6.1 正弦函数的图像 探索新知 通过上面的分析，你能不能更快捷地画出余弦函数的简图？如何画？ 五点作图法： (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标). (2) 描点(定出五个关键点). (3) 连线(用光滑的曲线顺次连接五个点). 提示: 把区间[0,2π]分成12等份, 分别求出函数y=cosx在各分点及区间端点的正弦函数值. 用描点法作出余弦函数y＝cosx 在 [0,2π]上的图像. (1)列表. 探索新知 根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝cosx 在 [0,2π]上的图像. 用描点法作出余弦函数y＝cosx 在 [0,2π]上的图像. (1)列表. (2)描点作图. 探索新知 不难看出下面五个点是确定余弦函数y＝cosx在 [0,2π]上的图像的关键点.因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图. 探索新知 由诱导公式cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)可知, 将函数y＝cosx在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π, 4π, …, 就得到了余弦函 y＝cos x, x∈R的图像. 余弦函数的图像也称为余弦曲线, 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． 探索新知 若将正弦函数y＝sinx, x∈R的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像, 如果是, 需平移多少？ 探究与发现 将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内,可以看出：把正弦函数y＝sinx, x∈R的图像向左平移 个单位长度，就得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像． y＝sinx, x∈R 探索新知 (1)定义域. 余弦函数的定义域是实数集R. 观察余弦曲线，类比正弦函数，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论: 探索新知 (2)值域. 余弦函数的值域是[-1, 1]. 观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sinx, x∈R的结论: 当x=2kπ(k∈Z)时, y取最大值, ymax=1; 当x=π+2kπ(k∈Z)时, y取最小值, ymin=1. 探索新知 (3) 周期性. 观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sinx, x∈R的结论: 余弦函数是周期为2π的周期函数． 探索新知 观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sinx, x∈R的结论: (4) 奇偶性 由图像关于y轴对称和诱导公式cos( x)=cosx可知, 余弦函数是偶函数． 探索新知 余弦函数y＝cos x在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1增大到1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从1减小到-1． 观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sinx, x∈R的结论: (5) 单调性. 探索新知 例1 利用五点法作出函数y=-cosx在[0,2π]上的图像． 解 (1)列表. 巩固提升 (2)根据表中x,y的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=-cosx在[0,2π]上的图像. 例1 利用五点法作出函数y=-cosx在[0,2π]上的图像． 解 (1)列表. 巩固提升 例2 求函数y＝3cosx＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合． 解 由余弦函数的性质知,-1≤cosx≤1 ,所以-3≤3 cosx≤3 , 从而 -2≤3 cosx+1≤4 ,即 -2 ≤ y ≤ 4. 故函数的最大值为4，最小值为-2. 函数y＝3cosx＋1取最大值时的x的集合, 就是函数y=cosx取得最大值时的x的 ... ...
