上海市华东师范大学第三附属中学2026届高三上学期第一次阶段测试数学试卷（含答案）

上海市华东师范大学第三附属中学2026届高三上学期第一次阶段测试数学试卷 一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。 1.设，则下列选项中不正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 4.设，数列满足，，则( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。 5.集合，则 ． 6.已知幂函数的图象经过点，则 ． 7.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现点数之和等于的概率是 ． 8.若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为 9.已知随机变量服从正态分布，且，则 ． 10.若为虚数单位，且则实数 ． 11.已知且为第二象限角，则 ． 12.若关于的不等式的解集是，则 ． 13.如图，在四边形中，，，，，若为线段上一动点，则的最小值为 ． 14.已知函数，若，，且，则的最小值是 15.已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，，则的最大值是 ． 16.已知，给出下列命题：的图象关于点对称；的值域为；在区间上有个零点；若方程在区间有个不同的解，其中，则的取值范围是其中所有正确命题的序号为 ． 三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在正方体中，是的中点． 求证：平面； 设正方体的棱长为，求三棱锥的体积． 18.本小题分 已知函数． 当时，求的极值； 若恒成立，求实数的取值范围； 19.本小题分 某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点在弧上，点和点分别在线段和线段上，且米，记． 当时，求； 请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值． 20.本小题分 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． 求椭圆的标准方程； 过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； 过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 21.本小题分 已知函数的定义域为若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质． 分别判断：及是否具有性质；结论不需要证明 若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； 已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.． 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.【详解】证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 因为正方体的棱长是，是的中点，所以， 三角形的面积， 三棱锥的体积． 18.【详解】当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． 因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则， 所以的取值范围为． 19.【详解】根据题意，在中，，又， 故由正弦定理可得： 解得，， 故． 即． 由题可知，在中，， 则由正弦定理，可得， 故可得， 故 ． 即． 当时，，此时取得最大值． 20.【详解】依题意可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为． 由知，，故该直线为， 由，消去可得， 故，所以． 显然的斜率存在否则轴，根据对称性，，与题设矛盾， 设，，直线为， 由，消去得，显然， 由韦达定理可得：，， 又，则，故， 由得，，故， 即，化简可得，解得 ... ...