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课件网) 青岛版数学 八年级上册 5.1 勾股定理及其逆定理 课时1 勾股定理 第5章 勾股定理与实数 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系. 2.能够运用勾股定理进行简单的计算. 第14届国际数学教育大会会标中心的图案,是依据汉末三国初数学家赵爽(生卒年不详)的弦图创作的. 它是由什么图形组成的？ 蕴含着怎样的数学知识？ 剪四个全等的直角三角形,拼一拼,拼出图所示的图形.判断这个图形中四个全等的直角三角形围成的大四边形和中间小四边形的形状,并说明理由. 两个四边形都是正方形. 因为它们各自的边相等,四个角都为直角. 探究一 勾股定理 观察与发现 （1）这两个正方形的面积怎样表示 它们有什么关系 思考与交流 设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.观察下图, （2）从中你能发现直角三角形的三边a,b,c之间有什么关系吗 （1）大、小正方形的边长分别为 c 和 b-a, 它们的面积分别为 c2 和(b-a)2. ∴a2+b2=c2. （2）直角三角形的三边a,b,c之间有： a2+b2=c2. 由图可知c2=(b-a)2+4× ab, 利用手中四个全等的直角三角形纸片 （1）你还能拼出其它不同的正方形吗 试一试. （2）能用拼出的图形说明：a2+b2=c2 吗 思考与交流 设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c. b a c 探究一 勾股定理 （1）拼出的正方形如图所示 （2）大、小正方形的边长分别为 a+b 和 c, （a+b）2 =c2+4× ab ∴a2+b2=c2. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理： A B C a b c 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 概括与表达 a2+b2=c2. 在RtABC中，∠C=90°， 由勾股定理，得a2+b2=c2. 勾 股 勾 股 弦 我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理. 探究一 勾股定理 解:在△ABC中,∠C=90°,由勾股定理, 得a2+b2=c2. 例1、在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b, c (1)若a=8,b=6,求c; (2)若c=25,b=15,求a; (3)若a:b=3:4,c = 15,求a和b. ∵c=15,∴ 5x = 15, ∴x=3. ∴a=3x=3×3=9, b=4x=4×3=12. (1)∵a=8，b= 6, ∴c2=a2+b2=82+62=100, ∴c=10. (2)∵c=25，b=15, ∴a2=c2-b2=252-152=400, ∴a=20. (3)设a=3x,b=4x(x>0), ∴c2=a2+b2=(3x) +(4x) =25x2, ∴c=5x. 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，若AC＝5，AB＝13，CD＝4，则BD的长是( ) A．6 B．7 C．8 D．9 C 利用勾股定理,可以证明 “斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”(HL). 探究二 证明“HL” 思考与交流 已知，如图,在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,BC=B'C',AB=A'B', 证明:△ABC≌△A'B'C'. 证明:在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中, 由勾股定理,得 AB2=BC2+AC2,A'B'2=B'C'2+A'C'2. ∵BC=B'C',AB=A'B', ∴AC2=A'C'2.∴AC=A'C'. 在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中, BC=B'C', AB=A'B', AC=A'C', 所以△ABC≌△A'B'C'(SSS). 解:如图,过点A作AD⊥BC,则∠ADB=90°. 例2、在△ABC 中,BC=6,AB=AC=5.求△ABC 的面积. A B C D AD2=AB2-BD2=52-32=16. ∵AB=AC,BC=6, ∴BD=BC=3. 在Rt△ABD 中,∠ADB=90°, AB=5,BD=3.由勾股定理,得 ∴AD=4. ∴S△ABC= BC·AD= ×6×4=12, 即△ABC 的面积为12. 大意为:如图,有一个边长为10尺的正方形水池,在水池正中间有一根芦苇AD,它高出水面1尺,即CD 为1尺.如果将这根芦苇从顶端牵引到池边中点B 处,它的顶端刚好到达岸边的水面,问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少. 例3、《九章算术》中记载了一个有趣的数学问题: 今有池方一丈,葭生 ... ...
