2.2 用配方法求解一元二次方程（第一课时）导学案（无答案） 初中数学北师大版（2024）九年级上册

一元二次方程 §2.2 用配方法求解一元二次方程（第一课时） 班级： _____ 姓名： _____ 日期： _____ 一、学习目标 1. 知识与技能： · 理解配方法的概念和依据。 · 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 2. 过程与方法： · 通过将方程化为 (x + m) = n (n≥0) 的形式，体会“降次”的数学思想。 · 经历从“直接开平方法”到“配方法”的探索过程，感悟转化的数学思想。 3. 情感、态度与价值观： · 在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心。 二、学习重难点 · 重点： 理解并初步掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 · 难点： 理解配方的基本原理，探索将一元二次方程转化为 (x + m) = n 的形式。 三、学习过程 （一）知识回顾，温故知新 1. 什么叫做完全平方式？请写出完全平方公式： (a + b) = _____ (a - b) = _____ 2. 解下列方程：（直接开平方法） (1) x = 9 解：x = _____ 或 x = _____ (2)(x - 2) = 5 解：x - 2 = _____ 或 x - 2 = _____ ∴ x = _____, x = _____ 思考： 直接开平方法适用于什么形式的方程？ 答： 适用于能化为 (x + m) = n (n≥0) 形式的方程。 （二）创设情境，探究新知 【探究活动一】 问题： 你会解方程 x + 6x + 9 = 25 吗？ 1. 观察方程的左边 x + 6x + 9，它有什么特点？可以写成什么形式？ 答： 左边是一个完全平方式，可以写成 (x + 3) 。 2. 现在，原方程可以变形为：_____ = 25 3. 请用直接开平方法解这个方程，并写出完整过程。 解： 【探究活动二】 核心问题： 如果方程是 x + 6x - 1 = 0，你还能用上面的方法求解吗？ 1. 这个方程的左边 x + 6x - 1 是一个完全平方式吗？_____（是/不是） 2. 我们的目标是：将方程转化为 (x + m) = n 的形式，再利用直接开平方法求解。 对比 x + 6x + ( ) 和完全平方公式 (x + m) = x + 2mx + m ： · 2m = 6，所以 m = _____ · 要想配成完全平方式，常数项应该是 m = _____ 3. “配方”过程： · 移项： 把常数项移到右边。 x + 6x = 1 · 配方： 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 x + 6x + (____) = 1 + (____) (x + ____) = 10 · 求解： 用直接开平方法解方程。 x + 3 = _____ 或 x + 3 = _____ x = _____, x = _____ （三）归纳总结，形成方法 配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤： 以方程 x + px + q = 0 为例： 1. 移常数： 把_____项移到方程的右边，得到 x + px = -q。 2. 配平方： 方程两边同时加上_____的平方，即 (p/2) ，得到： x + px + (p/2) = -q + (p/2) 左边配成完全平方式：(x + p/2) = -q + (p/2) 3. 开平方： 如果右边是一个非负数，就可以利用直接开平方法求解。 x + p/2 = ±√[-q + (p/2) ] 4. 写解： 写出方程的两个根。 x = -p/2 ± √[-q + (p/2) ] （四）例题解析，巩固应用 例1： 解方程 x - 8x + 1 = 0 解：· 移项，得：x - 8x = _____ · 配方，得：x - 8x + ____ = -1 + ____ （一次项系数是____，它的一半是____） (_____) = _____ · 开平方，得：x - 4 = _____ · 即：x - 4 = _____ 或 x - 4 = _____ · ∴ x = _____, x = ____ __ 例2： 解方程 x + 3x - 2 = 0 解：· 移项，得：x + 3x = _____ · 配方，得：x + 3x + (____) = 2 + (____) (x + ____) = _____ · 开平方，得：x + 3/2 = ±√(17/4) x + 3/2 = ±(√17)/2 · ∴ x = _____, x = _____ （五）学以致用，分层练习 【A组·基础达标】 1. 填空，补全完全平方式： · x + 10x + _____ = (x + _____) · x - 12x + _____ = (x - _____) · x + x + _____ = (x + _____) 2. 用配方法解下列方程： · x + 4x - 5 = 0 x - 6x = 3 t - 2t - 5 = 0 【B组·能力提升】 1. 用配方法解方程：x - 5x + 2 = ... ...