2.4.1圆的标准方程 教学设计

2.4.1圆的标准方程 教学目标 1、会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程. 2、会判断点与圆的位置关系. 3、掌握待定系数法求圆的标准方程. 4、体会数形结合的数学思想 重、难点: ①由已知条件求圆的标准方程 ②由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标. 教学方法：采用启发式探索式教学 教学用具：直尺，圆规；PPT课件. 教学过程 复习导入 上节课我们已经学过直线方程的概念，直线斜率及直线方程的常见表达式，我们知道了关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样的表达式呢？这节课让我们一起来学习最常见的曲线--圆的方程的第一节圆的标准方程. 知识讲解（难点突破） 1．提出问题，复习导入 问题1：在直线的方程的学习中，我们研究了哪些问题？ 【师生活动】引导学生归纳我们建立了直线的方程，并利用直线的方程研究直线的位置关系，距离等几何性质. 追问：类似的，如何研究圆？直线的方程是如何建立的？ 【师生活动】学生在回顾的基础上，明确采用坐标法建立圆的方程，再利用圆的方程研究圆的几何性质.教师引导学生回顾根据直线的几何要素建立直线的方程. 【设计意图】回顾所学知识，体会坐标法研究几何问题的思想，明确研究方向. 问题2：类似于直线的方程的建立，为建立圆的方程，我们首先考虑建立一个圆的几何要素.圆的定义是什么？如何用集合语言描述？ 【师生活动】引导学生总结，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点称为圆心，定长称为半径．因此，确定一个圆的几何要素是圆心和半径.学生明确抓住圆的几何要素可以确定一个圆． 【设计意图】开门见山，引出课题“圆”．这是完成圆的标准方程的数学抽象第一阶段，即完成对现实世界中图形的抽象，得到圆的图形，获得圆的基本概念，此时是从感性具体上升到理性思维的过程． 2．探究问题，生成新知 问题3：在平面直角坐标系中如何确定一个圆呢？ 【师生活动】教师引导学生归纳，在平面直角坐标系中，☉的圆心坐标为，半径为，为圆上任意一点，则圆就是以下点的集合：． 追问1：你能用坐标表示点满足的条件吗？ 【师生活动】学生根据两点间的距离公式，容易得到， 追问2：能进一步整理吗？ 【师生活动】两边平方得到(1)． 追问3：显然，若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，点是否在圆A上？有没有例外？ 【师生活动】教师类比直线的方程的定义，引导学生归纳若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，点就在圆上．我们把方程(1)称为圆心为，半径为的圆的标准方程． 追问4：圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是什么？ 【师生活动】学生回答 追问5：方程一定表示圆心在原点的圆吗？ 【师生活动】学生讨论，教师引导归纳当时方程不表示圆，表示原点；当时，方程表示圆心在原点，半径为的圆. 【设计意图】问题3是完成圆的标准方程的数学抽象第二阶段．第二阶段是基于逻辑的抽象，通过问题3，引导学生用符号化的语言表示圆的标准方程，从理性具体上升为理性一般的思维过程．这两个阶段同时也是学生完成直观想象的过程． 3．典例分析，深化理解 例1．求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在这个圆上． 【师生活动】由教师分析解题思路，由学生完成后，教师多媒体展示图形. 问题4：点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？ 【师生活动】由学生自主探究，总结，点在圆内的条件是点到圆心的距离小于半径，即；点在圆外的条件是点到圆心的距离大于半径，即． 【设计意图】让学生学会判断点与圆的位置关系．这里有两种方法可以使用：一是根据点的坐标与圆的方程的关系判断（代数法），二是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断（几何法 ... ...