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课件网) 15.4 等腰三角形 15.4.2 等腰三角形性质的应用 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 1.能用等腰三角形的性质解决简单的几何问题； 2.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程， 掌握用等腰三角形的性质进行论证的方法. 学习目标 等腰△ABC沿折痕AD对折，其中重合的线段和角，如下表： 重合的线段 重合的角 AB与AC ∠B与∠C BD与CD ∠BAD与∠CAD AD与AD ∠ADB与∠ADC A C B D 线段AD有什么特点？ 中线 角平分线 高 课堂导入 A B C D 定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合. 简称“三线合一”. 任务一：用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算. 活动：小组合作讨论，完成下列问题. 问题1：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，那么∠C与∠A有怎样的数量关系？请你求出△ABC中各角的度数. A B C D x 2x 解:∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x， 在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 °, 解得x=36°，∴在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°. 活动探究 等腰三角形中求角度问题 1.先确定等边所对应的底角. 3.当等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答， 设未知数时，一般设较小的角的度数为x. 2. 计算内角大小. 方法总结 问题2：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E． 求证：∠CAD=∠BCE． 证明：∵AB=AC，BD=CD（已知）， ∴∠B=∠ACB（等边对等角），AD⊥BC（“三线合一”）， 又∵CE⊥AB（已知），∴∠CAD+∠ACB=90°，∠BCE+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠CAD=∠BCE（等角的余角相等）． 技巧：利用等腰三角形“三线合一”的性质，将底边中线，底边的高和顶角平分线相互转化. 任务二：用等腰三角形的性质证明“HL”定理. 活动：求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 已知，如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°, AB=A'B'，AC=A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. B' C B A A’ C' 证明:如图所示，在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C', 使点A和点A'、点C和点C'重合，点B和点B'在AC的两侧. ∵∠BCB'=90°+90°=180°,（等式性质） ∴B,C,B'三点在一条直线上.（平角的定义） 在△ABB'中,AB=AB',∴∠B=∠B'（等边对等角） = = = = “HL”定理 B B' C(C') A(A’) 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∠ACB=∠A'C'B'（已知）, ∠B=∠B'（已证）, AB= A‘B’(已知）， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（AAS） B B' C(C') A(A’) 已知，如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°, AB=A'B'，AC=A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 1.如图所示，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80 . 则∠B的度数为 . 25° 当堂检测 2.如图所示，在△ABC中，∠A=70°，AB=AC，CD平分∠ACB， 求∠ADC的度数. 解：∵在△ABC中，∠A=70°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=55°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB=∠ACD=27.5°, ∵∠ADC为△BCD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5°. 3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC． 证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°， 又∵∠CBE=∠CAD， ∴∠CBE+∠C=90°， ∴BE⊥AC． 说说本节课你学到了什么？ 课堂总结 ... ...
