17.2 课时3 较复杂的因式分解问题 课件（共18页ppt） 2025-2026学年人教版（2024）初中数学八年级上册

17.2 用公式法分解因式 课时3 较复杂的因式分解问题 第十七章 因式分解 理解因式分解各个方法之间的联系和区别. 能综合运用提公因式法与公式法、多次运用公式法对多项式进行因式分解. 了解十字相乘法对二次三项式的因式分解. 问题1：我们学习了哪些因式分解的方法？ 提公因式法，公式法 ????2?????2=(????+????)(?????????) (????±????)2 = ????2±2????????+????2 ? 问题2：当我们遇到较复杂的因式分解时该如何进行计算？ 知识点 1 较复杂的因式分解问题 例5 分解因式: (1) x4-y4； ?2? a3b-ab 分析：在(1)中， x4-y4可以写成(x?) ?- (y? ) ?的形式，可用公式法分解因式； 解 (1)原式=(x2)2?(y2)2 还能继续分解因式吗？ =(x2+y2)(x2?y2) =(x2+y2)(x+y)(x?y)． 例5 分解因式: (1) x4-y4； ?2? a3b-ab 分析：对于?2? a3b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式. (2)原式=ab(a2?1) =ab(a+1)(a?1)． 注：对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 1.因式分解的步骤： (1)先提取公因式； (2)再用公式法因式分解. 2.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 ． 不能直接使用公式时可适当变形整理 例6 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)?ax2+2a2x?a3. 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式； (2)中有公因式-a，提出负号添括号，记得变号. 解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2； (2)原式=?a(x2?2ax+a2) =?a(x?a)2. 分解因式： (1) x2y?4y ； (2) a3?2a2+a ； (3) ax2+2a2x+a3 ； 解 (1)原式=y(x2?4) =y(x+2)(x?2)． (2)原式=a(a2?2a+1) =a(a?1)2． (3)原式=a(x2+2ax+a2) =a(x+a)2． 知识点 2 十字相乘法 (1)(????+3)(????+4) (2)(????-3)(????-4) (3)(????+5)(????+6) (4)(????-5)(????-6) 1.计算下列各式 解：原式=????2+4????+3????+12 =????2+7????+12 原式=????2-4????-3????+12 =????2-7????+12 原式=????2+5????+6????+30 =????2+11????+30 原式=????2-5????-6????+30 =????2-11????+30 思考：你有什么快速计算类似的多项式的方法吗? (????+3)(????+4)=????2+7????+12 (????-3)(????-4)=????2-7????+12 【观察】这两个等式有什么规律？ 可以发现，如果二次三项式?????+????????+???? 中常数项????能分解成两个因数????、b的积，而且一次项系数????又恰好是????+b，那么 ? ????? + ???????? +???? =????? +(????+????)???? +???????? =(???? +????)(???? +????) ? 十字相乘法分解因式的步骤： (1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； (2)分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； (3)交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 一次项系数 1 ???? ? 1 ???? ? 1×????+1×????=????+???? ? 当遇到这种二次三项式时我们可以运用这种十字相乘法来分解因式 对二次三项式????? + ???????? +????进行因式分解，应重点掌握以下三个方面： 1.基本思路: 拆常数项，凑一次项. 2.常数项拆为两数之积，一次项系数是常数项的拆为数的和. 即:????=???????? ????=????+???? 3.符号规律: 当????>0时，????、????同号，且????、????的符号与????的符号相同; 当????<0时，????、????异号，且绝对值较大的因数与????的符号相同. 分解因式：(1) x2-3x+2； (2) x2+3x-10. 分析：(1) 1 -1 1 -2 1×(-2)+1×(-1)=-3 (2) 1 -2 1 5 1×5+1×(-2)=3 解：(1) x2-3x+2 =(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10 =(x-2)(x+5). {BDBED569-4797-4DF1-A0F4-6AAB3CD982D8}方法 特点 分解结果 易错点 提公因式法 多项式各项含公因式 单项式×多项式 漏提整体公因式（如(a+b)） 平方差公式 两项、异号、均为平方 (和)(差) 与完全 ... ...