16.3.2 完全平方公式 课件（共39张PPT）2025-2026学年人教版数学八年级上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：16.3.2 完全平方公式 副标题：探索多项式乘法的特殊二次展开式 背景图：左侧展示完全平方和公式推导 “(a+b) =a +2ab+b ”，右侧用大正方形面积模型（边长为 a+b，由边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形及两个长 a 宽 b 的长方形组成）直观表示面积关系，标注 “(a+b) =a +2ab+b ”，下方补充完全平方差公式 “(a-b) =a -2ab+b ” 的几何模型（大正方形减两个长方形加小正方形），初步呈现公式的代数与几何意义。 幻灯片 2：学习目标 理解完全平方和与完全平方差公式的推导过程，明确公式的结构特征（“首平方、尾平方、积的 2 倍放中央，符号看前方”）。 掌握完全平方公式的表达式 “(a+b) =a +2ab+b ” 和 “(a-b) =a -2ab+b ”，能准确识别公式中的 “a” 和 “b”（可表示数字、字母或多项式）。 能运用完全平方公式解决直接应用、符号变形、底数为多项式及混合运算等问题，提升整式乘法的准确性与效率。 体会 “从一般到特殊”“数形结合” 的数学思想，培养观察、归纳与推理能力，能区分完全平方公式与平方差公式。 幻灯片 3：导入 ——— 从多项式乘法的特殊形式切入 复习回顾：回顾多项式乘多项式法则，计算练习： (x+3)(x+3)； (2a-1)(2a-1)。 学生计算后发现：这两个式子均为 “两个相同二项式相乘”，即 “(m+n) ” 或 “(m-n) ” 的形式，展开后结果有规律可循。 提出问题：对于 “(a+b) ”“(a-b) ” 这类 “二项式的平方”，展开后是否有统一的公式？与平方差公式有何区别？引出本节课核心 ——— 完全平方公式。 幻灯片 4：完全平方和公式的推导（代数与几何结合） 一、代数推导： 定义：(a+b) 表示 “(a+b) 与 (a+b) 相乘”，即 (a+b) =(a+b)(a+b)。 按多项式乘法展开： (a+b)(a+b)=a a + a b + b a + b b=a + ab + ab + b 。 合并同类项：ab + ab=2ab，最终得 (a+b) =a + 2ab + b 。 二、几何验证（面积法）： 几何模型：边长为 (a+b) 的大正方形，可分割为三部分：边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形、两个长为 a、宽为 b 的长方形。 面积关系： 大正方形面积 =(a+b) ； 三部分面积和 = a + b + ab + ab=a + 2ab + b 。 结论：(a+b) =a + 2ab + b ，从几何角度验证公式正确性。 动画演示：分步展示大正方形的分割过程，标注各部分边长与面积，直观呈现 “整体面积 = 部分面积和” 的关系。 幻灯片 5：完全平方差公式的推导（类比与变形） 一、代数推导： 方法 1：类比完全平方和公式，将 (a-b) 看作 (a + (-b)) ，代入完全平方和公式： (a + (-b)) =a + 2 a (-b) + (-b) =a - 2ab + b 。 方法 2：直接展开多项式： (a-b) =(a-b)(a-b)=a a - a b - b a + b b=a - ab - ab + b =a - 2ab + b 。 二、几何验证： 几何模型：边长为 a 的大正方形，在其中一个角剪去一个长为 a、宽为 b 的长方形，再补上一个长为 (a-b)、宽为 b 的长方形，最终形成边长为 (a-b) 的正方形（结合图形变形）。 面积关系： 边长为 (a-b) 的正方形面积 =(a-b) ； 面积计算：大正方形面积 - 两个长方形面积 + 小正方形面积（补全部分）=a - ab - ab + b =a - 2ab + b 。 结论：(a-b) =a - 2ab + b ，验证公式正确性。 公式总结： 完全平方和公式：(a+b) =a + 2ab + b ； 完全平方差公式：(a-b) =a - 2ab + b ； 统一口诀：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方”（“首” 指 a，“尾” 指 b，“符号” 由 (a±b) 的符号决定）。 幻灯片 6：完全平方公式的结构特征分析 结构拆解：以 (a±b) =a ±2ab+b 为例： 左边：二项式的平方，形式为 “(首 ± 尾) ”； 右边：三项式，包含 “首 ”“尾 ”“±2× 首 × 尾” 三部分，且 “ ... ...