大联考长沙市一中2026届高三月考试卷（三） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则（ ） A. B. 20 C. D. 6 3. “数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设随机事件A，B满足，，则（ ） A. 0.4 B. 0.35 C. 0.25 D. 0.1 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，且，，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. C. D. 3 6. 已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（ ） A. 8 B. 8 C. D. 12 8. 在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，点满足．当四面体体积最大时，过点的平面截四面体外接球所得圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 若动直线与圆相交于两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 存在点，使为定值 10. 已知正方体，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B 当时，平面 C. 当为直角三角形时， D. 当的面积最小时， 11. 已知数列的前项积，数列的前项和为1，满足．则（ ） A. 数列为递减数列 B. 若，则满足要求的正整数对共有对 C. 记，数列的前项和为，则 D. 记，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 学校开展班级轮值活动，高二某班有四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为_____．（用数字作答） 13. 如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条水平直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的半径为_____． 14. 设函数，若恒成立，则的最小值是_____． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在锐角中，角所对的边分别为为边上一点，且平分． （1）求证：； （2）若，求的值． 16. 某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值并估计记为“优秀”的最低分数； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 17. 已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面与底面垂直，，当时，． （1）当时，求三棱锥的体积； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18. 已知平面直角坐标系中动点到定点的距离和到直线的距离之比为． （1）求动点的轨迹； （2）已知点的坐标为，点为轨迹在第一象限的点，点关于原点的 ... ...
