2.7探索勾股定理 【题型1】根据勾股定理已知两边求第三边 8 【题型2】根据勾股定理列方程求边长 11 【题型3】勾股定理的实际应用 14 【题型4】勾股定理的面积问题 17 【题型5】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形 21 【题型6】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用 23 【知识点1】勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1.（2024秋 牟平区期末）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ） A．（2-）cmB．（2-2）cmC．2cmD．2cm 【答案】B 【分析】易得△ACO是等腰直角三角形，△BCO是含30°的直角三角形，根据CO为2cm,可得AC和BC的长度，相减即可得到AB的长度． 【解答】解：由题意得：∠COA=45°，∠COB=60°，∠OCB=90°，OC=2 cm. ∴∠CAO=45°，∠CBO=30°． ∴∠CAO=∠COA，OB=2OC=4． ∴CA=2，BC==2（cm）． ∴AB=BC-AC=（2-2）cm. 故选：B． 【知识点2】勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 1.（2024 杏花岭区模拟）赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（ ） A．转化思想B．数形结合思想C．方程思想D．函数思想 【答案】B 【分析】根据题意得到这种证明方法所体现的数学思想是数形结合思想． 【解答】解：这种证明方法所体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 2.（2024 晋中一模）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，第14届国际数学教育大会（1CME-14）将于2021年7月在上海举办，这是我国第一次承办此项大会．如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是（ ） A．欧几里得B．杨辉C．祖冲之D．赵爽 【答案】D 【分析】根据题意，可知这位数学家是赵爽，本题得以解决． 【解答】解：如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是赵爽， 故选：D． 【知识点3】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较 ... ...
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