2025-2026学年人教版九年级上册数学第二十四章 圆证明题训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025-2026学年人教版九年级上册数学第二十四章圆证明题训练 1.如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点． 求证：； 若，，求的长． 2.如图，为的直径，为的切线，交于点，为上一点，． 求证：； 若，的半径为，求的长． 3.如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且． 求证：是的切线； 若，求的直径． 4.如图，在中，的平分线交于点，过点作直线的垂线交于点，是的外接圆． 求证：是的切线； 过点作于点，若，求的长度． 5.如图，为的直径，点为的中点，交直线于点． 求证：； 若，，求的直径． 6.如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分，． 求证 平分，并求的大小； 过点 作交 的延长线于点 若，，求此圆半径的长． 7.如图，的半径，弦、交于点，为弧的中点，过点的直线交延长线于点，且． 试判断与的位置关系，并说明理由； 如图，连接，若，，求的长． 8.如图，为的直径，，交于点，交于点． 求证：； 若，，求阴影部分的面积． 9.如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点． 求证：平分； 若，，求的半径长． 10.如图，是的直径，，四边形是平行四边形，交于点，连接并延长交的延长线于点． 求证：是的切线 若，，求图中阴影部分的面积结果保留根号和 11.如图，四边形内接于，为的直径，． 试判断的形状，并给出证明． 若，，求的长． 12.如图，四边形内接于，是直径，为的中点，延长，交于，连结． 求证：； 当，时，求线段的长． 13.如图，，，都是的半径，． 求证：． 若，，求的半径． 14.如图，中，，以为直径的交于，交于． 求证：； 若，求和的度数． 15.如图，是的直径，，交于点，是的弦，． 求证：； 求证：． 16.如图，，为的两条弦，且． 求证：； 若，，，求的半径． 17.如图，是的直径，为上的一点，为的中点，连接，，过点作的垂线交于点． 求证：； 若，，求的长． 18.如图，是的直径，弦，于点，连接交于点． 求证：； 若，，求的长． 19.如图，是的内接三角形，过点的切线交的延长线于点． 若，求的度数； 的平分线交于点，若，求的度数． 20.如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点． 求证：； 若的半径，，求的长． 21.如图，以的一边为直径的与其它两边，的交点分别为，，且． 求证：； 若的半径为，，求的长． 22.如图，，是的弦，且，弦于点，是的中点． 求证：； 若，，，求的半径． 23.如图，是的直径，是弦，是优弧的中点，于点，连接． 求证：平分； 求证：． 24.如图，内接于，，为的中点，于点，连接． 求证：； 若，，求的半径． 25.如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，弦，垂足为． 求证：； ，，求的长． 26.如图，是的外接圆，为直径，过点作的切线交的延长线于点，为上一点，且，连接． 求证：； 若垂直平分垂足为，，求阴影部分的面积． 27.如图，为的直径，为弦，且于，为延长线上一点，平分． 求证：与相切； 连接，若，求的度数． 28.如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，． 求证：； 设，垂足为若，求的长． 答案和解析 1.【答案】解：证明：连接、，如图， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 为的直径， ， ， ，， ， ， ． 【解析】本题考查的是切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线的判定与性质有关知识． 连接、，根据切线的性质得到，则可判断，得到，然后证明，从而得到结论； 利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用面积法求出的长． 2.【答案】证明：是的切线，为的直径， ， ， 又， ， ， ； 解：，为圆心， 为中点，， ， 又， ． ... ...