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课件网) 第五章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 题型觉醒 高频题型：题型二、题型三、题型四、题型五 题型一 正、余弦型函数的周期及应用 1.（2024黑龙江牡丹江二中期末）函数 的最小正周期是( ) B A. B. C. D. 【解析】 由,的最小正周期为 可直接得结论. 因为,所以函数的最小正周期 . 2.（2025江苏连云港期末）设为正数,若函数的最小正周期为 ,则 ( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 由,且为正数,可得最小正周期,解得 . 3.（多选/2025四川成都期末）下列函数中,最小正周期为 的是( ) BC A. B. C. D. 【解析】 函数的最小正周期 ； 因为,所以函数的最小正周期为 ； 因为函数的最小正周期 ,所以函数 的最小正周期为 ； 因为函数的最小正周期 ,所以函数 的最小正周期为 . 4. （2025甘肃兰州五十一中期末）我们平时听到的乐音不只是一个音在响, 而是许多个音的结合,称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动,产生频率为 的基音的同时,其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动,产生的频率恰 好是全段振动频率的倍数,如,, 等.这些音叫谐音,因为其振幅较小,一般不易单独听 出来,所以我们听到的声音的函数为 .则函数 的周期为( ) C A. B. C. D. 观察题中式子,变形不易且无法直接用公式 求解,故考虑用定义法求周期. 【解析】 因为 , 所以 , 故 是 的一个周期,又的最小正周期为 ,所以函数 的最小正周期为 . 题型二 正、余弦型函数的奇偶性及应用 5.（2025辽宁大连期末）已知函数 是偶函数,则 等于( ) B A. B. C.1 D. 若是偶函数,则函数需要由正弦变余弦,则 是 的奇数倍. 【解析】 函数是偶函数,, .又 ,, . 函数是偶函数, ,即 , , , ,又 ,, . 6.（2025湖南长沙一中期末）设函数,则“”是“ 为偶函数” 的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 充分性:由,得 ,,则 为偶函数； 必要性:由为偶函数,得 ,,得 . 所以“”是“ 为偶函数”的充要条件. 7.（2025安徽芜湖联考）已知函数,若,则 __. 【解析】 利用奇偶性求解.的定义域为.令 , 则,所以 为奇函数, 又,所以,则 ,所以 . 利用整体思想求解.,即 , . 8.（2025浙江省宁波市鄞州中学月考）已知为奇函数,则 ( ) A A. B.0 C.1 D.2 【解析】 由题意得,即,且,且 . 由于为奇函数,则定义域关于原点对称,故,即 . 此时,定义域为,且,且 ,关于原点对称,且 ,即为奇函数,符合题意,故 . 由题意得,即,且,且 . 由于为奇函数,则,即 ,即 ,解得 .经检验,符合题意. 题型三 正、余弦型函数的对称性及应用 9.（2025湖南长沙雅礼中学月考）已知函数 的图象关于 点对称,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 根据正弦曲线的对称中心为, ,即可求解. 因为函数的图象关于点 对称, 则,即,因为 ,所以 . 10. （多选）已知函数的图象关于点 中 心对称,则( ) ACD A. B. C.直线是图象的对称轴 D.直线是 图象的对称轴 【解析】 将代入,得 , ,即，又 , ； 对称轴过图象的最高点或最低点,代入对称轴处的 值一一验证是否取到最值即 可.由上知,则,则直线是 图象的对称轴；,则直线是 图象的对称轴. A,B同上述解法.对于C,D,求出对称轴的方程,给赋值判断.由 , 令 （余弦曲线的对称轴方程为）,,解得 ,, ，令,得；令,得 . . . 11.（2024上海市虹口高级中学期中）设函数其中, ,若 函数图象的对称轴直线与其对称中心的最小距离为,则 的解析式为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 由题意知（任意对称轴与对称中心之间的距离为， .最小距 离,即相邻对称轴与对称中心之间的距离,为）,则,所以,解得 .又直线 为图象的对称轴,则 ,,所以, .又 ,所以,即 . . . 题型四 正、余弦型函数的单调性及应 ... ...
