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课件网) 第五章 三角函数 真题觉醒 考向一 同角三角函数的基本关系 1.（2023全国甲卷）设甲:,乙: ,则( ) B A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】 形式和同角三角函数的和的关系类似,向此方向考虑. 甲等价于 ,等价于 ,所以由甲不能推导出 ,也可取特殊值判断：当时,例如, ,但 所以甲不是乙的充分条件；由,得 ,平 方可得 ,即 ,所以由乙可以推导出甲,则甲是 乙的必要条件. 2.（2023全国乙卷）若,,则 _____. 【解析】 已知正切值,可利用“知一求二”得到正弦值和余弦值.在直角三角形 中求解,令角 的对边为1,邻边为2,则斜边为 （先在三角形中求出各边长）, 又 是锐角（判断三角函数值的正负,即正、余弦值都为正）,所以, , 所以 . 已知正切值,求正弦值和余弦值,可以想到利用“切化弦”.因为 ,所以 ,,因为,所以 （知道了一个正、余弦的 关系还不能够求解,需要另一个正、余弦关系,这样就想到了同角三角函数的平方关系）, . . . . . . 所以,解得或 （舍去）, 所以 . 考向二 三角函数的图象与性质 3.（2024北京）设函数.已知,,且 的 最小值为,则 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 因为,且,, ,所以 的最小正周期 （正弦函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个 最小正周期）, 所以 . . . 4.（2024天津）已知函数的最小正周期为 ,则在 的最 小值为( ) A A. B. C.0 D. 【解析】 由的最小正周期为 ,可得,所以 ,所以 .当时,, ,所以 . 5.（2023全国乙卷）已知函数在区间单调递增,直线 和 为函数的图象的两条对称轴,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 由已知条件可得直线和 是相邻对称轴,利用相邻对称轴之间的距离 为,可以求出周期,进而得到 的值.,设,则 , . 因为在区间单调递增,又直线 是其图象的一条对称轴,所 以当时,取得最小值,则, , （利用最小值求 ） 则,,不妨取,则, ,则 . . . 6.（2024新课标Ⅰ卷）当时,曲线与 的交点个数为 ( ) C A.3 B.4 C.6 D.8 【解析】 数形结合法. 因为函数的最小正周期 ,所以函 数在 上的图象恰好是三个周期 的图象,所以作出函数与 在 上的图象如图所示, 由图可知,这两个图象共有6个交点. 7.（多选/2024新课标Ⅱ卷）对于函数和 ,下列说法中正确 的有( ) BC A.与有相同的零点 B.与 有相同的最大值 C.与有相同的最小正周期 D.与 的图象有相同的对称轴 【解析】 直接法. 令,则,,又 ； 与 的最大值都为1； 与的最小正周期都为 ； 图象的对称轴方程为 ,,即,, 图象的对称 轴方程为 ,,即,,故与 的图象的对称轴不相 同. 8.（2023新课标Ⅱ卷）已知函数,如图,, 是直 线与曲线的两个交点,若,则 _____. 【解析】 设,,由可得 . 由可知 或 , ,则 ,即, . （此处未用周期求 ,而是利用“设而不求”,将 整体代入求解） . . ,由图可知 是图象呈上升状态时与 平衡位置的交点,所以 ,,即 , , , . 考向三 三角恒等变换 9.（2024全国甲卷）已知,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 根据题意有,即,所以 ,所以 . 10.（2024新课标Ⅰ卷）已知,,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 根据两角和的余弦可求 , 的关系,结合 的值可 求前者,故可求 的值. 由得 ①， 由得 ②, 由①②得所以 . 11.（2023新课标Ⅰ卷）已知,,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 由题意,得 则,所以 ,所以 . 12.（2023新课标Ⅱ卷）已知 为锐角,,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 由题意, , 得,又 为锐角,所以,所以 . 由题意,,得 ,将选项逐个代入验证可知D选 项满足. 13.（2022新高考Ⅱ卷）若 ,则( ) C A. B. C. D. 【解析】 方法一：直接法. 由已知，得 , 即,即 , 所以 . 方法二：特殊值排除法. 设,则,取 ,排除A,B； 设,则 , ... ...
