2.1.1等式与不等式 课件（共29张PPT）——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

(课件网) 等式与不等式 导入 　　函数关系、相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建函数、方程与不等式的基础．本章将学习一些关于不等式的基本知识，并从函数的观点来看方程和不等式，以理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性. 导入 　　现实世界和日常生活中，“等”与“不等”是两个不同的概念，反映在数学上就是相等关系和不等关系．两者既对立，又统一，它们在一定条件下可以相互转化，在数学研究和数学应用中起着重要的作用． 一 等式与不等式 一 等式与不等式 　　现实世界中，既有大量的相等关系，又广泛地存在着不等关系．在方程的学习中，我们学会了用相等关系解决生活中的诸多问题．同样地，可以用不等式刻画现实世界中的数量关系．相等关系更多地刻画“静态的数量关系”，而不等关系经常用来刻画“动态的数量关系”. 　　在日常生活中，我们经常用大与小、重与轻、长与短、高与矮、不低于或不超过等来描述客观对象在数量上的不等关系． 一 等式与不等式 　　例如，在交通标识中常见的不等关系有： 　　如图2.1-1(1)，该图标的意思是机动车的行驶速度v不可超过60km/h，即v≤60．如图2.1-1(2)，该图标的意思是机动车的总高度h不可超过3.5m，即h≤ 3.5．如图2.1-1(3)，该图标的意思是机动车的总重M不可超过10t，即M≤10． (1) (2) (3) 图2.1-1 一 等式与不等式 　　在数学中，我们也经常探究几个量之间的不等关系，例如，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，任何实数的平方都大于或等于0，随机事件发生的概率在0与1之间，等等． 　　我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题．下面看两个具体的问题． 一 等式与不等式 　　问题1　图2.1-2(1)是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2.1-2(2). 图2.1-2(3)中的正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b(a≠b)，那么正方形的边长为 　 ．这样，4个直角三角形的面积之和为　　 　 ，正方形的面积为a2+b2．由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和，我们就得到一个不等式 a2+b2 >2ab ． 一 等式与不等式 　　 (1) (2) (3) 图2.1-2 一 等式与不等式 一 等式与不等式 　　为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质做必要的了解． 　　我们知道，实数可以比较大小．如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应两个不同的实数a与b，那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大（如图2.1-3）． a0，那么a>b；如果a－b=0，那么a=b；如果a－b<0，那么ab>0，m>0)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明. 例 2 一 等式与不等式 解　因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为： 　　　　　，其中a>b>0 ， m>0. 　下面用作差比较法给出证明. 　因为a，b，m都是正数， 　且a>b，所以a+m>0，a－b>0． 　所以 　即 　　假设有一种机器可以抽取糖 ... ...