浙江省温州市2025年“摇监杯”高中数学竞赛试题（无答案）

2025年温州市“摇监杯”高中数学竞赛试题 本卷满分150分,考试时间120分钟。所有答案答在答题纸上才有效. 第I卷选择题(共58分) 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数满足，则的值为（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某中学为了解高二年级学生的数学学习情况，将该年级学生按文、理科分层抽样，其中理科400人，文科200人，从理科学生中随机抽取40人，文科学生中随机抽取20人，分别统计他们的数学测试成绩,得到理科样本的平均成绩为86分,方差为12;文科样本的平均成绩为80分,方差为10,则下列说法正确的是(计算结果保留一位小数)( ▲ ) A.估计高二年级全体学生数学测试成绩的总平均分为82.5分 B.估计高二年级全体学生数学测试成绩的总平均分为83.0分 C.估计高二年级全体学生数学测试成绩的总方差为11.3 D.估计高二年级全体学生数学测试成绩的总方差为19.3 4.一个质地均匀的正八面体骰子,8个面分别标有数字1到8,任意抛掷一次骰子并记录最上面的数字.设事件“”,事件“”,事件“”,则下列说法正确的是( ▲ ) A.事件与事件为互斥事件 B. C.事件与事件独立 D. 5.在中,角满足且,则的值为（ ）. A.B.C.D. 6.已知点是函数图象上两个不同的点，，若的最小值为0,则实数的值为( ▲ ) A.0 B.C.1 D.2 7.直三棱柱的底面是等腰三角形,为中点,点在三棱柱的内部或表面上,且平面.记动点所形成的区域面积为,三棱柱的侧面积为,则 A.B.C.D. 8.已知为实数,函数,记的最小值为,则的取值范围是( ▲ ) A.B.C.D. 二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.记表示不超过的最大整数,已知平面向量满足,则的取值可以为( ▲ ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 10.在棱长为1的正方体中,分别为的中点,以下说法正确的有( ) A.与共线 B. C.点到直线的距离为 D.点到平面的距离为 11.的内角的对边分别为,且满足,且.点是边的中点,点是边上靠近的三等分点,则下列说法正确的是 A.面积的最大值为 B.外接圆半径的最小值为 C.长度的最大值为 D.长度的最小值为 第II卷非选择题(共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数在时取得最小值,则的最小值为_____▲_____. 13.已知正实数满足，则的最小值为_____▲_____. 14.已知是一个整数集合，满足中任意一个数均可以表示成中两个数(允许相同)之和，且存在3个中的数(允许相同)之和为0,但任意2个中的数(允许相同)之和不为0,则的元素个数的最小可能值为_____▲_____. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题13分)一个不透明的盒子中装有4个红球,6个白球,甲先从盒子中随机取出一个球,不放回,乙再从盒子中随机取出一个球. (1)求乙取出的球的颜色为红色的概率； (2)求甲乙两人取出的球的颜色相同的概率. 16.(本题15分)已知函数. (1)当时，判断函数的奇偶性并说明理由; (2)解不等式. 17.(本题15分)在锐角中,边所对的角分别为,若, (1)若为定值，求的值； (2)求的取值范围. 18.(本题17分)如图,四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上,且 (1)请判断四棱锥的外接球的球心是否在平面上，并说明理由: (2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 19.(本题17分)已知,函数满足对定义域内的,均有,且. (1)若不等式的解集为,求实数的值； (2)若存在区间，其中，对，，求数组的所有可能取值. ... ...